N¨²meros de Dudeney

Se puede estimar ¡°a ojo¡± el ¨¢rea del abeto fractal de la semana pasada viendo que la raz¨®n de su ¨¢rea y la del tri¨¢ngulo is¨®sceles que lo contiene disminuye a medida que aumenta la altura del tri¨¢ngulo. En el l¨ªmite inferior (cuando el tri¨¢ngulo is¨®sceles decrece hasta coincidir con el equil¨¢tero), la raz¨®n es 1, y en el l¨ªmite superior, cuando la altura del is¨®sceles tiende a infinito, los equil¨¢teros apilados son todos iguales y ocupan la mitad del ¨¢rea del is¨®sceles (convertido en rect¨¢ngulo infinito)...

Se puede estimar ¡°a ojo¡± el ¨¢rea del abeto fractal de la semana pasada viendo que la raz¨®n de su ¨¢rea y la del tri¨¢ngulo is¨®sceles que lo contiene disminuye a medida que aumenta la altura del tri¨¢ngulo. En el l¨ªmite inferior (cuando el tri¨¢ngulo is¨®sceles decrece hasta coincidir con el equil¨¢tero), la raz¨®n es 1, y en el l¨ªmite superior, cuando la altura del is¨®sceles tiende a infinito, los equil¨¢teros apilados son todos iguales y ocupan la mitad del ¨¢rea del is¨®sceles (convertido en rect¨¢ngulo infinito). Por tanto, el ¨¢rea del abeto fractal mide entre 1 y 1/2 del ¨¢rea del tri¨¢ngulo is¨®sceles que lo contiene, y puesto que en el caso que nos ocupa dicha ¨¢rea es 2 x 1/2 = 1 metro cuadrado, podemos estimar el ¨¢rea del abeto en unos 0.7 m? (en la secci¨®n de comentarios de la semana pasada se discuten varias formas de abordar el problema).

En cuanto al acertijo navide?o de Dudeney, sabemos que cada uno de los 7 hombres casados bes¨® a 1 mujer casada (la suya), a 3 viudas y a 10 solteras: 14 x 7 = 98 besos; cada casada (7) bes¨® a 1 casado (su marido), a 12 solteros, a 10 solteras y a 3 viudas: 26 x 7 = 182 besos; cada viuda (3) bes¨® a todas las dem¨¢s personas menos a las otras viudas: 36 x 3 = 108 besos; cada soltero (12) bes¨® 2 veces a las 10 solteras, a las 3 viudas y a las 7 casadas: 30 x 12 = 360 besos; y cada soltera (10) bes¨® 2 veces a los 12 solteros, a las otras 9 solteras, a las 3 viudas, a las 7 casadas y a los 7 casados: 50 x 10 = 500 besos. En total, salvo error u omisi¨®n, 1248 besos; pero al hacer la suma de este modo hemos contado cada beso dos veces, pues el que A le da a B es el mismo que el que B le da a A, por lo que el n¨²mero real de ¨®sculos navide?os es 624.

El otro Dudeney

El sencillo acertijo anterior no da la medida del vers¨¢til ingenio de Henry Dudeney, as¨ª que, para hacerle justicia, veamos dos aportaciones m¨¢s originales e interesantes.

En la figura superior, tomada de la primera edici¨®n de uno de los libros de Dudeney, vemos una clara posici¨®n de jaque mate; pero ?c¨®mo se ha llegado a ella? A se?alar que, con este problema y otros similares, Dudeney se anticip¨® al ¡°ajedrez retr¨®grado¡± posteriormente desarrollado por Raymond Smullyan, que nos ha dejado peque?as joyas como esta:

En este tablero alguien puso un caballo de otro juego de piezas. Averiguar cu¨¢l de los tres caballos blancos es el intruso, sabiendo que el rey negro puede enrocarse y el blanco no se ha movido.

La segunda aportaci¨®n digna de ser tenida en cuenta tiene que ver con la teor¨ªa de n¨²meros:

Un n¨²mero de Dudeney es un cubo perfecto tal que la suma de sus d¨ªgitos es igual a la ra¨ªz c¨²bica de dicho n¨²mero; por ejemplo, 512 = 83, 5 + 1 + 2 = 8.

Invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar m¨¢s n¨²meros de Dudeney y a reflexionar sobre ellos.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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