Problemas insulares

Como vimos la semana pasada, el n¨²mero 2147483647 es un n¨²mero doble de Mersenne, porque es igual a 2?? ¨C 1 y 31 (el exponente del 2) tambi¨¦n es un n¨²mero de Mersenne. Hay otro n¨²mero doble de Mersenne f¨¢cil de hallar: el 7, ya que 7 = 2? ¨C 1 y 3 tambi¨¦n es un n¨²mero de Mersenne: 3 = 2? ¨C 1. No tan f¨¢cil es el 127 = 2? ¨C 1, y francamente dif¨ªcil el que falta (de momento solo se conocen cuatro), 2 elevado a 127 ¨C 1, que es un n¨²mero de 39 cifras. Cuando se habla de n¨²meros dobles de Me...

Como vimos la semana pasada, el n¨²mero 2147483647 es un n¨²mero doble de Mersenne, porque es igual a 2?? ¨C 1 y 31 (el exponente del 2) tambi¨¦n es un n¨²mero de Mersenne. Hay otro n¨²mero doble de Mersenne f¨¢cil de hallar: el 7, ya que 7 = 2? ¨C 1 y 3 tambi¨¦n es un n¨²mero de Mersenne: 3 = 2? ¨C 1. No tan f¨¢cil es el 127 = 2? ¨C 1, y francamente dif¨ªcil el que falta (de momento solo se conocen cuatro), 2 elevado a 127 ¨C 1, que es un n¨²mero de 39 cifras. Cuando se habla de n¨²meros dobles de Mersenne se suele sobrentender que estamos hablando de n¨²meros primos, como los cuatro que acabamos de ver. ?Puedes encontrar alg¨²n n¨²mero doble de Mersenne no primo?

En cuanto a los primos ¡°trillizos¡±, comenta Salva Fuster: ¡°Los trillizos 3, 5 y 7 son ¨²nicos, pues si existiesen otros tres, tendr¨ªan que ser p, p+2 y p+4, teniendo cada uno de ellos un resto diferente al dividirlos entre 3, de modo que alguno de ellos ser¨ªa m¨²ltiplo de 3, y , por lo tanto, no ser¨ªa primo¡±. (Al dividir un n¨²mero por 3 solo hay tres restos posibles: 0, 1 y 2).

Y por lo que respecta a los n¨²meros compuestos consecutivos, Manuel Amor¨®s se?ala que ¡°podemos obtener una secuencia de compuestos consecutivos arbitrariamente grande (lo cual quiere decir que podemos encontrar primos separados a la distancia que queramos). Consideremos los n¨²meros n!+2, n!+3, n!+4, ¡­ , n!+n. Todos estos n-1 enteros van seguidos y son compuestos¡±.

Obs¨¦rvese que, con este m¨¦todo, para obtener ocho compuestos consecutivos, como se ped¨ªa la semana pasada, tendr¨ªamos que avanzar mucho en la secuencia de los n¨²meros naturales y partir de 9!+2 = 362882, cuando hay algunos octetos mucho m¨¢s pr¨®ximos, como 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121. Esto da idea de lo dif¨ªcil que es abordar los escurridizos n¨²meros primos por m¨¦todos distintos a los de la fuerza bruta de los c¨¢lculos exhaustivos.

La isla de los ad¨²lteros

Ignacio Alonso plante¨® un interesante problema de islas flotantes (ver comentario 9 de la semana pasada) que me llev¨® a acordarme de otros problemas ¡°insulares¡±. He aqu¨ª un par de ellos:

1. Un magnate caprichoso compra cuatro islotes muy pr¨®ximos entre s¨ª en un archipi¨¦lago del Pac¨ªfico y encarga a un arquitecto que construya cuatro hoteles, uno en cada islote, de modo que cada edificio equidiste de los otros tres. ?Es posible?

2. En una isla viven cien matrimonios heterosexuales sin relaci¨®n con el resto del mundo. Todos los hombres enga?an a sus mujeres. Es una isla peque?a y todas las mujeres se enteran enseguida cuando cualquier hombre enga?a a su mujer, excepto cuando es su propio marido, y el pudor proh¨ªbe que una mujer le d¨¦ esa informaci¨®n a otra. La ley de la isla castiga severamente el adulterio: si una mujer comprueba que su marido le es infiel debe matarlo ese mismo d¨ªa a medianoche de un disparo. Nadie desobedece la ley y un disparo se oye en toda la isla, y todas las mujeres razonan de forma impecablemente l¨®gica. Un d¨ªa la reina del pa¨ªs visita la isla y les dice a todas las mujeres que al menos uno de los hombres de la isla enga?a a su mujer. ?Qu¨¦ ocurre tras esa informaci¨®n suministrada por la reina?

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