Jacques Tits, una vida consagrada al edificio de las matem¨¢ticas

El pasado 5 de diciembre falleci¨® Jacques Tits, uno de los matem¨¢ticos m¨¢s influyentes de la segunda mitad del siglo XX. Sus trabajos revolucionaron la manera de entender los grupos, unos objetos centrales en el ¨¢lgebra, que encapsulan la idea de simetr¨ªa. Este nuevo punto de vista permiti¨® establecer nuevos puentes entre la geometr¨ªa y el ¨¢lgebra, dando lugar al inicio de la geometrizaci¨®n de la teor¨ªa de grupos. Las contribuciones matem¨¢ticas de Tits fueron reconocidas en 2008 con el Premio Abel, el m¨¢ximo galard¨®n en matem¨¢ticas junto con la Medalla Fields.

Tits naci¨® en Uccle (B¨¦lgica) en 1930. Hijo de matem¨¢tico, desarroll¨® una pasi¨®n y habilidad inusitadas por las matem¨¢ticas desde una edad muy temprana. A los 14 a?os se matricul¨® como estudiante de Matem¨¢ticas en la Universidad Libre de Bruselas, donde tambi¨¦n complet¨® sus estudios de doctorado a la edad de 20 a?os. Su director de tesis, Paul Libois, fue un reconocido intelectual marxista, pol¨ªtico y gran defensor de la intuici¨®n geom¨¦trica como veh¨ªculo de aprendizaje matem¨¢tico.

Tras ocupar puestos de profesor universitario en Bruselas y Bonn, en 1974 obtuvo la C¨¢tedra de Teor¨ªa de Grupos en el prestigioso Coll¨¨ge de France (Par¨ªs). Durante estos a?os, adquiri¨® la nacionalidad francesa y fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia.

La investigaci¨®n de Tits se enmarca dentro de la teor¨ªa de grupos. Un grupo es la traducci¨®n del concepto de simetr¨ªa al lenguaje matem¨¢tico. Por ejemplo, un cuadrado tiene ocho simetr¨ªas distintas: cuatro rotaciones basadas en el centro del cuadrado y cuatro reflexiones a lo largo de l¨ªneas que pasan por el centro del cuadrado. Este conjunto de simetr¨ªas tienen tres propiedades fundamentales: hay una simetr¨ªa identidad (la rotaci¨®n de cero ¨¢ngulos), que deja el cuadrado tal cual estaba; toda simetr¨ªa se puede deshacer (tiene una inversa); y, finalmente, el resultado de aplicar una simetr¨ªa y despu¨¦s otra (multiplicarlas) es de nuevo una simetr¨ªa.

Abstrayendo estas tres propiedades, en matem¨¢ticas un grupo se define como un conjunto cuyos elementos se pueden multiplicar entre s¨ª, donde cada elemento tiene un inverso y donde hay un elemento identidad. Algunos grupos tienen un n¨²mero finito de elementos, como el grupo de simetr¨ªas del cuadrado; por el contrario, otros grupos son infinitos, como el formado por los n¨²meros reales distintos de cero.

Hasta finales del siglo XIX, los grupos fueron considerados primordialmente como objetos algebraicos abstractos que aparec¨ªan en el contexto de la resoluci¨®n de ecuaciones polin¨®micas. En 1872 tuvo lugar un gran cambio de paradigma: el matem¨¢tico alem¨¢n Felix Klein (1849 - 1925) anunci¨® su Programa de Erlangen, donde propon¨ªa, por primera vez, usar la teor¨ªa de grupos para entender problemas de geometr¨ªa.

La visi¨®n de Tits, aupado a su vez a hombros de gigantes como H.S.M. Coxeter (1907 - 2003), se puede considerar como una ¡°inversi¨®n¡± del Programa de Erlangen, ya que propone usar herramientas geom¨¦tricas para estudiar los grupos. En este sentido, una de las grandes contribuciones matem¨¢ticas de Tits, desarrollada con el matem¨¢tico franc¨¦s Fran?ois Bruhat (1929 - 2007), es el concepto de los edificios de Bruhat-Tits asociados a ciertas familias muy generales de grupos (los llamados grupos algebraicos).

Estos edificios son objetos geom¨¦tricos construidos a partir de la estructura algebraica del grupo, y que tienen como grupo de simetr¨ªas precisamente el grupo original. Como ocurre tantas veces en matem¨¢ticas, la terminolog¨ªa es bastante sugerente: un edificio est¨¢ formado por apartamentos, constituidos a su vez por m¨²ltiples habitaciones, pegados de acuerdo a un patr¨®n que refleja la estructura algebraica del grupo en cuesti¨®n.

Los edificios de Bruhat-Tits han sido determinantes en varios de los grandes hitos de la matem¨¢tica moderna, como el estudio de los grupos de Coxeter (generalizaciones de grupos de reflexiones) o los grandes teoremas de Margulis, Prasad, etc, sobre la rigidez de ciertos subgrupos (llamados ret¨ªculos) en grupos algebraicos.

Como es l¨®gico al tratarse de un matem¨¢tico de tal influencia, dejamos en el tintero la gran mayor¨ªa de las aportaciones de Tits, muchas de enorme calado, como el parad¨®jico cuerpo con un elemento, la conocida alternativa de Tits sobre la estructura de los grupos de matrices, o sus trabajos sobre grupos de Coxeter extendidos, ahora conocidos como grupos de Artin-Tits. Adem¨¢s de con el Premio Abel, los trabajos de Tits fueron reconocidos con otros galardones importantes, como el Premio Wolf (1993) y la Orden Nacional de la Legi¨®n de Honor de Francia (2008). Pero sobre todo, el legado de la obra matem¨¢tica de Jacques Tits pervive a trav¨¦s de su influencia sobre la manera de pensar de un gran n¨²mero de investigadores en todo el mundo.

Yago Antol¨ªn es profesor titular en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Javier Aramayona es cient¨ªfico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas, miembro del ICMAT y codirector de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica de ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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