Primos lejanos

La secuencia de los n¨²meros de Mersenne (que son los de la forma 2? ¨C 1), de los que hablamos la semana pasada, incluye dos primos, el 3 y el 7, entre sus primeros t¨¦rminos, lo que podr¨ªa llevarnos a pensar que no van a ser escasos. Nada m¨¢s falso. Entre los n¨²meros menores de 100, solo encontramos otro primo, el 31, que es igual a 2?¨C 1, y entre los n¨²meros de tres cifras solo hay uno, 127 = 2? ¨C 1. Estos cuatro primos, 3, 7, 31 y 127, ya eran conocidos en tiempos de Euclides, pero hasta el siglo XV no se descubri¨® el quinto primo de Mersenne: 8191 = 2?? ¨C 1. En el siglo XVI, el matem¨¢tico bo...

La secuencia de los n¨²meros de Mersenne (que son los de la forma 2? ¨C 1), de los que hablamos la semana pasada, incluye dos primos, el 3 y el 7, entre sus primeros t¨¦rminos, lo que podr¨ªa llevarnos a pensar que no van a ser escasos. Nada m¨¢s falso. Entre los n¨²meros menores de 100, solo encontramos otro primo, el 31, que es igual a 2?¨C 1, y entre los n¨²meros de tres cifras solo hay uno, 127 = 2? ¨C 1. Estos cuatro primos, 3, 7, 31 y 127, ya eran conocidos en tiempos de Euclides, pero hasta el siglo XV no se descubri¨® el quinto primo de Mersenne: 8191 = 2?? ¨C 1. En el siglo XVI, el matem¨¢tico bolo?¨¦s Pietro Antonio Cataldi descubri¨® otros dos: 131071 = 2?? ¨C 1 y 524287 = 2?? ¨C 1, y habr¨ªa que esperar hasta el siglo XVIII para que Euler, aplicando el m¨¦todo de divisi¨®n por tentativa de Cataldi, descubriera el octavo primo de Mersenne: 2147483647 = 2??.

El octavo primo de Mersenne es lo suficientemente peculiar como para que le dediquemos unas l¨ªneas. En primer lugar, es un n¨²mero doble de Mersenne, denominado as¨ª porque 31, el exponente del 2, es a su vez un n¨²mero de Mersenne. Hay otros n¨²meros dobles de Mersenne, y seguro que mis sagaces lectoras y lectores pueden hallar alguno de ellos (y tambi¨¦n estoy seguro de que no pueden hallarlos todos, a no ser que consulten una p¨¢gina especializada).

Pero el n¨²mero 2147483647 tambi¨¦n es muy popular en el mundo de la computaci¨®n, pues es el mayor n¨²mero entero en los sistemas con arquitectura de 32 bits (?por qu¨¦?), y por eso tambi¨¦n es la puntuaci¨®n m¨¢xima posible en algunos videojuegos. Como curiosidad, en la forma (214) 748-3647 es la secuencia de d¨ªgitos que con m¨¢s frecuencia se presenta como ejemplo de un n¨²mero de tel¨¦fono de Estados Unidos.

A partir del octavo, los primos de Mersenne crecen vertiginosamente y est¨¢n cada vez m¨¢s alejados unos de otros, hasta llegar al M??, que, como vimos la semana pasada, tiene casi 25 millones de cifras y es el mayor n¨²mero primo conocido hasta ahora.

Distancia entre primos consecutivos

Pero la enorme distancia entre dos grandes primos de Mersenne no es la mayor posible, pues podemos encontrar primos consecutivos tan alejados como queramos.

Solo hay dos primos consecutivos en sentido estricto: el 2 y el 3, puesto que 2 es el ¨²nico primo par. Los primos que son impares consecutivos, como 3 y 5, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, se llaman gemelos (?puedes hallar otras parejas de gemelos?). En este sentido, el 3, el 5 y el 7 son ¡°trillizos¡±, los ¨²nicos, por cierto (?por qu¨¦?).

Entre los 100 primeros n¨²meros naturales, los primos m¨¢s alejados son el 89 y el 97, lo que significa que en este intervalo no hay ninguna secuencia de m¨¢s de siete n¨²meros compuestos consecutivos. ?C¨®mo hallar¨ªas (sin consultar ninguna tabla, se entiende) una secuencia de ocho n¨²meros compuestos consecutivos?

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