El n¨²mero de Ramanujan

Para que el tangram m¨ªnimo de Br¨¹gner (el que resulta de dividir un rect¨¢ngulo en tres tri¨¢ngulos rect¨¢ngulos semejantes), del que habl¨¢bamos la semana pasada, permita construir, entre otras figuras, hasta 16 pol¨ªgonos convexos, el segmento mayor de los dos en que queda dividida la diagonal del rect¨¢ngulo tiene que ser igual al lado menor del mismo. Por la semejanza de los tres tri¨¢ngulos del minitangram, es f¨¢cil ver que la proporci¨®n entre los lados del rect¨¢ngulo ha de ser la ra¨ªz cuadrada de ¦µ (el n¨²mero ¨¢ureo: 1,618¡­); o sea, si el lado menor del rect¨¢ngulo es 1, el lado mayor es aproximadamente 1,27.

Por cierto, la ra¨ªz cuadrada de ¦µ se aproxima mucho a 4/¦Ð. ?Podemos sacar alguna conclusi¨®n de esta curiosa coincidencia?

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Queda abierta la cuesti¨®n de un posible tangram de cuatro piezas, obtenible, a partir de un cuadrado o un rect¨¢ngulo id¨®neo, mediante tres cortes rectil¨ªneos. Huelga se?alar que es muy f¨¢cil obtener un tangram cualquiera; se trata de dise?ar uno cuyas piezas se presten a formar una amplia gama de figuras interesantes, por ejemplo, pol¨ªgonos convexos.

Y hablando de pol¨ªgonos convexos, otra cuesti¨®n pendiente es la del n¨²mero de los mismos que se pueden formar con cada tangram. Como vimos, con el de Br¨¹gner son 16. ?Y con el tangram tradicional de siete piezas??

?Realmente m¨ªnimo?

Hay pocas dudas sobre el hecho de que el tangram de Br¨¹gner de tres piezas triangulares es el m¨ªnimo tangram no trivial. Obviamente, podemos dividir un cuadrado o un rect¨¢ngulo en solo dos partes en lugar de tres, y adem¨¢s podemos hacerlo de infinitas maneras (clasificables en cuatro tipos, el primero con un solo elemento y los otros tres con infinitos: dos tri¨¢ngulos, dos cuadril¨¢teros, un tri¨¢ngulo y un cuadril¨¢tero, un tri¨¢ngulo y un pent¨¢gono); pero ninguna bipartici¨®n dar¨ªa mucho juego a la hora de componer figuras con los dos trozos resultantes.

Pasando de las figuras a los n¨²meros, otro m¨ªnimo famoso es el n¨²mero de Ramanujan: el 1729. En cierta ocasi¨®n, G. H. Hardy le coment¨® al genial matem¨¢tico indio que era un n¨²mero poco interesante, y Ramanujan replic¨®: ¡°No diga eso, Hardy, 1729 es el menor n¨²mero que se puede expresar de dos maneras distintas como suma de dos cubos¡±.

Efectivamente, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³; pero ?es realmente el menor n¨²mero con esta propiedad?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.