R¨¦quiem por el ¨²ltimo matem¨¢tico universal

Jules Henri Poincar¨¦, nacido en Nancy (Francia) en 1854 y fallecido en Par¨ªs en 1912, es habitualmente considerado el ¨²ltimo matem¨¢tico universal, es decir, la ¨²ltima persona capaz de comprender todas las matem¨¢ticas de su tiempo. Sus contribuciones abarcan desde la teor¨ªa de funciones anal¨ªticas hasta las ecuaciones diferenciales, pasando por la geometr¨ªa diferencial y la f¨ªsica matem¨¢tica. Sus trabajos abrieron el camino para las teor¨ªas modernas del caos, de los sistemas din¨¢micos, y la topolog¨ªa algebraica.

Sus ideas han sido una gu¨ªa fundamental para las matem¨¢ticas contempor¨¢neas. Entre ellas destaca la c¨¦lebre conjetura que afirma que la esfera es el ¨²nico espacio compacto en el que toda curva se puede contraer a un punto. Esta conjetura inspir¨® toda una serie de revoluciones en geometr¨ªa y topolog¨ªa a lo largo de la segunda mitad del siglo XX llevadas a cabo por John Milnor, Stephen Smale, William Thurston, Michael Freedman y Richard Hamilton. Y fue finalmente probada a comienzos del siglo XXI por el matem¨¢tico Grigori Perelman.

Uno de los temas recurrentes en el trabajo de Poincar¨¦ es la mec¨¢nica celeste, concretamente el conocido como problema de los tres cuerpos. Este estudia el movimiento de tres cuerpos, cuyas masas se atraen siguiendo la fuerza de la gravedad, tal y como determin¨® a?os antes el brit¨¢nico Isaac Newton. Newton se vali¨® de nuevas herramientas matem¨¢ticas que desarroll¨® para la ocasi¨®n, y que ahora llamamos c¨¢lculo diferencial, para calcular las trayectorias de los dos cuerpos determinadas por la gravedad. Newton prob¨® que las trayectorias son el¨ªpticas cuando est¨¢n acotadas -como la Tierra cuando orbita alrededor del Sol- y parab¨®licas e hiperb¨®licas, dependiendo de su energ¨ªa, en el caso de que el movimiento de los cuerpos no est¨¢ confinado, como un cometa que pasa cerca de la Tierra para perderse posteriormente en el espacio.

Si los cuerpos que interaccionan no son dos sino tres, las ecuaciones que rigen su movimiento se complican enormemente. Poincar¨¦ entendi¨® muy pronto que este problema, el de ¡°los tres cuerpos¡±, no se pod¨ªa resolver de forma expl¨ªcita, y que era necesaria una nueva teor¨ªa para entender el comportamiento de este tipo de ecuaciones. Este nuevo paradigma, que dio lugar a multitud de herramientas nuevas de an¨¢lisis, topolog¨ªa y geometr¨ªa, forma el n¨²cleo de los tres vol¨²menes de Les m¨¦thodes nouvelles de la m¨¦canique c¨¦leste, publicados en 1892, 1893 y 1899 respectivamente. Con un total de casi 1300 p¨¢ginas, esta obra monumental constituye el origen de la teor¨ªa moderna de los sistemas din¨¢micos y sigue siendo una fuente de inspiraci¨®n para investigadores. El trabajo de Poincar¨¦ es un claro antecedente de teor¨ªas mucho m¨¢s modernas, como la influyente teor¨ªa KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) y la din¨¢mica erg¨®dica e hiperb¨®lica.