Paridad

?Cu¨¢nto mide el radio del c¨ªrculo inscrito en un tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5?, nos pregunt¨¢bamos la semana pasada. El radio del c¨ªrculo inscrito en un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo viene dado por la sencilla f¨®rmula r = 1/2 (b + c ¨C a), donde a es la hipotenusa y b y c son los catetos (?c¨®mo se obtiene esta f¨®rmula?); por lo tanto, el radio del c¨ªrculo inscrito en el tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5 es r = 1/2 (4 + 3 ¨C 5) = 1.

De la f¨®rmula anterior se desprende que para demostrar que el radio de un c¨ªrculo ins...

?Cu¨¢nto mide el radio del c¨ªrculo inscrito en un tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5?, nos pregunt¨¢bamos la semana pasada. El radio del c¨ªrculo inscrito en un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo viene dado por la sencilla f¨®rmula r = 1/2 (b + c ¨C a), donde a es la hipotenusa y b y c son los catetos (?c¨®mo se obtiene esta f¨®rmula?); por lo tanto, el radio del c¨ªrculo inscrito en el tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5 es r = 1/2 (4 + 3 ¨C 5) = 1.

De la f¨®rmula anterior se desprende que para demostrar que el radio de un c¨ªrculo inscrito en un tri¨¢ngulo pitag¨®rico (un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo con los tres lados enteros) es un n¨²mero entero, basta demostrar que b + c ¨C a es par, para lo cual solo hay que contemplar los tres casos posibles desde el punto de vista de la paridad:

-si ambos catetos son pares, la hipotenusa tambi¨¦n es par, luego b + c ¨C a es par;

-si ambos catetos son impares, su suma es par y la hipotenusa es par, luego b + c ¨C a es par;

-si un cateto es par y el otro impar, la hipotenusa es impar, luego b + c ¨C a es par.

Si en el famoso problema del ajedrez y los granos de trigo nos quedamos a la mitad del tablero, tendremos tantos granos como sonatinas puede generar el sonatr¨®n, puesto que 416 = 232. Y la terminaci¨®n de este n¨²mero nos brinda otro sencillo ejemplo de resoluci¨®n por paridad: las potencias impares de 4 terminan en 4 y las pares terminan en 6, por lo que el n¨²mero en cuesti¨®n terminar¨¢ en 6. En cuanto a la pen¨²ltima cifra, va tomando los diez valores posibles seg¨²n el ciclo 0165298347, por lo que la de la potencia 16 ser¨¢ un 9, que es el d¨ªgito que ocupa el 6? lugar (16 ¨C 10) en el ciclo.

Y hablando de paridad, el ¡°hueso duro de roer¡± de la semana pasada (demostrar que si a? + b? es divisible por ab + 1, el cociente es un cuadrado perfecto) tambi¨¦n se puede abordar desde esta perspectiva, aunque creo que no es el camino m¨¢s corto. En el momento de escribir estas l¨ªneas, nadie ha mandado una soluci¨®n propia (no vale cortipegar soluciones de internet, sobre todo si son poco claras), de modo que, de acuerdo con las normas antispoiler de esta secci¨®n, queda pendiente.

Si en el famoso problema del ajedrez y los granos de trigo nos quedamos a la mitad del tablero, tendremos tantos granos como sonatinas puede generar el sonatr¨®n, puesto que 416 = 232. Y la terminaci¨®n de este n¨²mero nos brinda otro sencillo ejemplo de resoluci¨®n por paridad

A un nivel m¨¢s anecd¨®tico, pero no del todo irrelevante, el hecho de que en Italia la palabra miliardo sea de uso com¨²n y en Espa?a ¡°millardo¡± sea tan inusual que hasta puede inducir a error, tiene que ver con la unidad monetaria: el valor de la lira -como el del franco viejo- era unas diez veces inferior al de la peseta, por lo que ser millonario en liras no era gran cosa, y un ricach¨®n era un miliardario. Con la introducci¨®n del euro, el t¨¦rmino ¡°millonario¡± vuelve a tener validez universal.

Apretones de manos y saltos de caballo

Siguiendo con el inagotable e instructivo tema de la paridad, en estos momentos en que est¨¢ desaconsejado el tradicional apret¨®n de manos, cabe hacerse la siguiente pregunta:

El n¨²mero de personas que a lo largo de su vida han estrechado la mano a un n¨²mero impar de personas, ?es par o impar?

Y ya que se ha mencionado el tablero de ajedrez:

?Puede un caballo que est¨¢ en la casilla inferior izquierda del tablero ir a la casilla superior derecha pasando una y solo una vez por todas las dem¨¢s casillas?

Y para terminar, uno tomado de la excelente p¨¢gina de divulgaci¨®n matem¨¢tica Gaussianos:

El popular juego de ¡°pares o nones¡± es tan equitativo como ¡°cara o cruz¡±; pero ?es as¨ª tambi¨¦n en el mundo del rat¨®n Mickey o de los Simpson?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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