Pentomin¨®s

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada cu¨¢l ser¨ªa, jugando al Tetris, la secuencia de piezas cayendo m¨¢s favorable para el jugador, es decir, m¨¢s f¨¢ciles de colocar de forma compacta. Es evidente que si solo cayeran piezas de los tipos I y O ser¨ªa muy f¨¢cil encajarlas de forma compacta (siempre que no fueran todas o casi todas O); pero, puesto que las piezas se seleccionan al azar, la probabilidad de que esto suceda es muy baja desde el primer momento. La probabilidad de que las dos primeras piezas de una partida de Tetr...

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada cu¨¢l ser¨ªa, jugando al Tetris, la secuencia de piezas cayendo m¨¢s favorable para el jugador, es decir, m¨¢s f¨¢ciles de colocar de forma compacta. Es evidente que si solo cayeran piezas de los tipos I y O ser¨ªa muy f¨¢cil encajarlas de forma compacta (siempre que no fueran todas o casi todas O); pero, puesto que las piezas se seleccionan al azar, la probabilidad de que esto suceda es muy baja desde el primer momento. La probabilidad de que las dos primeras piezas de una partida de Tetris sean del tipo O o I es 2/7 x 2/7 = 4/49, poco m¨¢s del 8%. Y la probabilidad de que esto ocurra cuatro veces seguidas no llega al 1%.

Las piezas m¨¢s dif¨ªciles de encajar son las del tipo T, S y Z, sobre todo las dos ¨²ltimas. Luca Tanganelli mand¨® un esquema del desarrollo de una partida en la que solo cayeran fichas del tipo T.

El cuadradito que sobresale en la parte superior izquierda del mosaico se corresponde con el hueco de la parte inferior izquierda, por lo que la teselaci¨®n podr¨ªa repetirse ad infinitum de no ser porque con esta secuencia no desaparece ninguna l¨ªnea y se llega r¨¢pidamente a la parte superior de la pantalla.

La ca¨ªda de piezas m¨¢s desfavorable es lo que los jugadores de Tetris llaman ¡°secuencia de la serpiente¡±, que es una sucesi¨®n de piezas S y Z. Afortunadamente, es tan improbable como la secuencia de piezas I y O.

Los vers¨¢tiles pentomin¨®s

Si a cada tetromin¨® le a?adimos un cuadrado m¨¢s de todas las maneras distintas posibles, obtenemos los pentomin¨®s. Si no se consideran diferentes los obtenibles unos de otros por rotaci¨®n o simetr¨ªa especular, hay 12 pentomin¨®s ¡°libres¡± distintos, que, al igual que los teromin¨®s, se suelen designar mediante letras may¨²sculas con las que guardan un parecido formal: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Como curiosidad (y recurso mnemot¨¦cnico), obs¨¦rvese que siete de los pentomin¨®s se corresponden con las siete ¨²ltimas letras del alfabeto.

Al pentomin¨® F tambi¨¦n se lo denomina R; ?por qu¨¦? (Pista: tiene que ver con otro juego en el que se combinan celdillas cuadradas).

Si no consideramos iguales los sim¨¦tricos especulares, los pentomin¨®s F, L, N, P, Y y Z dan lugar a otros 6, por lo que el n¨²mero de pentomin¨®s ¡°no libres¡± (¡°pegados¡± al plano, como los tetromin¨®s del Tetris) es 18.

Puesto que los 12 pentomin¨®s libres suman un total de 60 cuadrados, en principio podemos formar con ellos rect¨¢ngulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20. En principio y en la pr¨¢ctica: invito a mis sagaces lectoras/es a adquirir un juego de pentomin¨®s (se encuentran f¨¢cilmente en cualquier tienda del ramo) y a experimentar con estas y otras construcciones. En la figura vemos una soluci¨®n para el rect¨¢ngulo de 6 x 10; ?es ¨²nica?

Especialmente interesante es el desaf¨ªo ¡°reptiliano¡± (del ingl¨¦s rep-tiles, teselas repetidas), que consiste en formar con los 12 pentomin¨®s libres las mismas 12 piezas a un tama?o 12 veces mayor.

Por cierto, ya que este art¨ªculo gira alrededor de los pentomin¨®s, y por ende del n¨²mero 5, viene a cuento se?alar que esta es la entrega 260 de El juego de la ciencia, por lo que la secci¨®n cumple cinco a?os. Un buen pretexto para agradecerles una vez m¨¢s a mis amables lectoras/es su asidua participaci¨®n. Sin sus frecuentes y jugosos comentarios, esta secci¨®n no tendr¨ªa sentido.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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