Tetromin¨®s

En la secuencia ¡°cuasifibonacci¡± que vimos la semana pasada: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 23¡­, cada t¨¦rmino es la suma de los d¨ªgitos del correspondiente t¨¦rmino de la secuencia mira-y-di.

El tablero de ajedrez al que la falta una casilla puede recubrirse con 21 tromin¨®s tipo L como muestra la figura.

?Tambi¨¦n se puede recubrir con tromin¨®s del tipo I? Veamos, al respecto, la reflexi¨®n de nuestro ¡°usuario destacado¡± Oli Lim¨®n:

¡°Con tromin¨®s tipo I no siempre se puede recubrir el tablero mutilado, Si en un tablero de 8 x 8 coloreamos las diagonales con 3 colores diferentes, por ejemplo, negro, rojo, azul en ese orden hacia arriba y negro, azul, rojo hacia abajo vemos que hay 22 casillas con diagonales negras, 21 con rojas y 21 con azules. Un tromin¨® I, en cualquier posici¨®n que lo pongamos, ha de cubrir diagonales de cada uno de los 3 colores. Luego la casilla a quitar deber¨¢ ser de diagonal negra y no de otro color ?Es condici¨®n suficiente que la quitemos de una negra? Eso ya es otra historia a estudiar¡±.

Invito a mis sagaces lectoras/es a averiguar si la condici¨®n necesaria es tambi¨¦n suficiente.

El ya cl¨¢sico problema del campo cuadrado al que se le quita un cuarto y que hay que dividir en cuatro parcelas iguales en forma y tama?o, se resuelve con parcelas semejantes al terreno en L completo, lo que de paso ilustra el car¨¢cter ¡°reptiliano del tromin¨®.

Del domin¨® al Tetris

Si a los dos tromin¨®s les a?adimos un cuarto cuadrado de todas las maneras posibles, obtenemos lo cinco tetromin¨®s ¡°libres¡±, que son los que se consideran iguales cuando pueden obtenerse unos de otros por rotaci¨®n o reflexi¨®n, lo cual equivale a considerarlos objetos f¨ªsicos que pueden girar en el espacio. Por su semejanza con letras del alfabeto, estos tetromin¨®s se denominan, respectivamente, I, O, L, T y S.

Si los consideramos figuras bidimensionales pertenecientes a un plano, como ocurre en el Tetris, en ese caso los tetromin¨®s L y S, que no tienen simetr¨ªa axial, no son iguales a sus im¨¢genes especulares, que son sendos tetromin¨®s nuevos, el J y el Z.

Puesto que los cinco tetromin¨®s libres suman un total de 20 cuadrados, ?podemos formar con ellos un rect¨¢ngulo de 4 x 5?

Y con los siete tetromin¨®s del Tetris, ?podemos formar un rect¨¢ngulo de 4 x 7?

Y con las diez piezas de dos juegos de tetromin¨®s libres, ?podemos formas un rect¨¢ngulo de 4 x 10 o de 5 x 8?

M¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: ?podemos formar un rect¨¢ngulo de 7 x 8 o de 4 x 14 con dos juegos de tetromin¨®s del Tetris?

Es f¨¢cil recortar los tetromin¨®s en un trozo de cart¨®n, y a¨²n m¨¢s f¨¢cil intentar resolver los problemas anteriores dibuj¨¢ndolos en una hoja de papel cuadriculado.

Y, para terminar, una pregunta m¨¢s ¡°filos¨®fica¡± que geom¨¦trica: partiendo del domin¨®, un popular juego de mesa, hemos llegado a un no menos popular videojuego, el Tetris; ?qu¨¦ tienen en com¨²n ambos juegos, m¨¢s all¨¢ de lo meramente formal?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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