El matem¨¢tico que afirma que pi no es un n¨²mero

Este 2 de julio cumple 70 a?os Doron Zeilberger, profesor en el Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad de Rutgers (EE UU), quien es bien conocido por sus contribuciones a la combinatoria, especialmente por la creaci¨®n junto a Herbert Wilf de la llamada teor¨ªa de los pares WZ por lo que recibieron el c¨¦lebre premio Leroy P. Steele en 1998. Aparte de su merecido prestigio como matem¨¢tico, basta curiosear un poco en su p¨¢gina web para entender que tambi¨¦n destaca por sus opiniones controvertidas.

M¨¢s all¨¢ de algunas man¨ªas muy loables sobre horarios y uso de tel¨¦fonos m¨®viles y ordenadores en los seminarios cient¨ªficos (en concreto, defiende que no se deber¨ªan usar las charlas como excusa para revisar el correo electr¨®nico personal), su convicci¨®n m¨¢s singular es que se adhiere al ultrafinitismo, una negaci¨®n severa del infinito ¡°puro¡± matem¨¢tico. Esta doctrina va en la l¨ªnea de una corriente de la filosof¨ªa de las matem¨¢ticas llamada intuicionismo, m¨¢s conocida y menos extrema. En t¨¦rminos pr¨¢cticos, Zeilberger considera que solo tiene sentido aquello que es algor¨ªtmicamente construible.

Uno de sus ¨²ltimos resultados es una prueba, en sus propias palabras, ¡°totalmente rigurosa, hecha por humanos y legible por humanos¡±, pero descubierta gracias al ordenador.

No debe entonces extra?ar que sea un verdadero adalid en el uso del ordenador en las demostraciones matem¨¢ticas. As¨ª, por ejemplo, aplicando los pares WZ antes mencionados, un computador puede probar cierto tipo de igualdades (como se explica magistralmente en su libro A=B). Esto va m¨¢s all¨¢ del uso habitual que dan al ordenador la mayor parte de los matem¨¢ticos y quiz¨¢ es suficiente para justificar que el de Zeilberger, llamado Shalosh B. Ekhad, aparezca como coautor en algunos de sus art¨ªculos de investigaci¨®n, incluso excepcionalmente como ¨²nico autor. Uno de sus ¨²ltimos resultados, del que hablamos m¨¢s abajo, es una prueba, en sus propias palabras, ¡°totalmente rigurosa, hecha por humanos y legible por humanos¡±, pero descubierta gracias al ordenador.

Sus seminarios son bastante espectaculares y no pierde ocasi¨®n para expresar sus convicciones en ellos. Podemos encontrarlo diciendo a voz en grito que ¡°?los n¨²meros reales no son reales, es un ox¨ªmoron!¡± en una conferencia titulada El auge y declive de la astrolog¨ªa y el futuro declive del llamado infinito, relativizar el famoso teorema de incompletitud de G?del mencionando que para ¨¦l las afirmaciones matem¨¢ticas son ¡°verdaderas, falsas o sin sentido¡±, o defender en otra charla, llamada Lo que es pi y lo que no es, que ¡°pi no es un n¨²mero¡±. En su opini¨®n, pi est¨¢ definido como clase de equivalencia de los algoritmos que lo aproximan, es decir, en vez de un n¨²mero es una colecci¨®n de algoritmos.

Pues bien, pese a estas controvertidas afirmaciones, Zeilberger ha probado recientemente, en colaboraci¨®n con Wadim Zudilin, un resultado sobre lo que se llama la medida de la irracionalidad de pi. La medida de la irracionalidad est¨¢ relacionada con aproximar pi, o cualquier otro n¨²mero real, mediante fracciones. Para ello se podr¨ªa truncar el desarrollo decimal, as¨ª ¦Ð=3,14159... se aproxima bien por 3141/1000 o por 314159/100000. Sin embargo, el objetivo es obtener fracciones que podr¨ªamos tildar de bonitas, que constituyen una buena aproximaci¨®n y tienen un denominador comparativamente peque?o. Por ejemplo, 22/7 da una aproximaci¨®n de pi, ya mencionada por Arqu¨ªmedes, con un error de unas 1,3 mil¨¦simas. As¨ª con un denominador de una cifra se consiguen casi tres cifras decimales de precisi¨®n. La siguiente ¡°fracci¨®n bonita¡±, obtenida por Zu Chongzhi en el siglo V e imbatida durante ocho siglos m¨¢s, es 355/113, que comete un error de menos de 0.3 millon¨¦simas a pesar de que el denominador tiene apenas 3 d¨ªgitos.

Lo que ahora Zeilberger y Zudilin han probado es, b¨¢sicamente, que no es posible, con denominadores grandes de n cifras obtener algo as¨ª como m¨¢s de 7n cifras de precisi¨®n

Lo que ahora Zeilberger y Zudilin han probado es, b¨¢sicamente, que no es posible, con denominadores grandes de n cifras obtener algo as¨ª como m¨¢s de 7n cifras de precisi¨®n. El enunciado concreto puede entenderse como sigue: Hay un resultado cl¨¢sico que afirma que para cualquier n¨²mero irracional es posible obtener infinitas aproximaciones m/n con un error menor que 1/n?. Tambi¨¦n se sabe que solo es posible cambiar el exponente 2 por otro mayor para n¨²meros muy excepcionales, y lo natural es creer que pi no est¨¢ entre ellos. Lo que demuestran Zeilberger y Zudilin es que para pi el exponente no puede reemplazarse por algo ligeramente mayor que 7,1. Este n¨²mero reduce el anteriormente conocido apenas un 7% y todav¨ªa queda un largo trecho hasta el 2 esperado, pero confiemos en que Dr. Z., como se autodenomina Zeilberger y como le llaman con cari?o sus estudiantes, junto a Zudilin y sus ayudantes de silicio, conserve todav¨ªa alg¨²n as en la manga para rese?ar antes de su pr¨®ximo cumplea?os.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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