Problemas navide?os

El t¨ªtulo no se refiere a las aglomeraciones en los centros comerciales ni a las dificultades para organizar una cena de Nochebuena a gusto de todos los comensales, sino a los problemas l¨®gico-matem¨¢ticos de tem¨¢tica navide?a. Como el del abeto, discutido por algunos lectores la semana pasada, del que ofrezco una versi¨®n simplificada:

En el interior de un tri¨¢ngulo is¨®sceles de base 1 metro y altura 2 metros, dibujamos un tri¨¢ngulo equil¨¢tero con la misma base, y sobre su v¨¦rtice apoyamos otro d...

El t¨ªtulo no se refiere a las aglomeraciones en los centros comerciales ni a las dificultades para organizar una cena de Nochebuena a gusto de todos los comensales, sino a los problemas l¨®gico-matem¨¢ticos de tem¨¢tica navide?a. Como el del abeto, discutido por algunos lectores la semana pasada, del que ofrezco una versi¨®n simplificada:

En el interior de un tri¨¢ngulo is¨®sceles de base 1 metro y altura 2 metros, dibujamos un tri¨¢ngulo equil¨¢tero con la misma base, y sobre su v¨¦rtice apoyamos otro de base paralela, y as¨ª sucesiva e indefinidamente, como indica la figura, formando un abeto fractal. Se pide calcular el ¨¢rea del abeto, o bien, puesto que se supone que estamos de vacaciones, estimar dicha ¨¢rea a ojo de buen le?ador, sin necesidad de c¨¢lculos.

Y un cl¨¢sico de Henry Dudeney, el matem¨¢tico brit¨¢nico del siglo XIX conocido por ser uno de los mejores y m¨¢s prol¨ªficos creadores de acertijos l¨®gicos de todos los tiempos:

A una fiesta navide?a asistieron el anfitri¨®n y su esposa, otros seis matrimonios, un viudo y tres viudas, doce solteros y diez solteras.

El viudo se entretuvo en contar los besos que, como era tradici¨®n, se dieron las personas que se encontraron bajo el mu¨¦rdago. Todas las personas besaron a todas las dem¨¢s, con algunas excepciones. El viudo, a¨²n reciente la muerte de su esposa, no bes¨® a nadie, y observ¨® lo siguiente:

Ning¨²n hombre bes¨® a otro hombre.

Ning¨²n hombre casado bes¨® a una mujer casada que no fuera la suya.

Cada uno de los solteros bes¨® dos veces a cada una de las solteras.

Las viudas no se besaron entre ellas.

?Cu¨¢ntos besos se dieron en total?

Concebir la finitud

En las ¨²ltimas semanas, algunos comentarios han girado alrededor del infinito, la dificultad de definirlo y la imposibilidad de concebirlo; un buen pretexto para recordar que, en su poema filos¨®fico Eureka, Edgar Allan Poe argumenta que la mente humana no solo no puede concebir lo infinito, sino tampoco lo finito. Una afirmaci¨®n inquietante, pues decir que no podemos concebir ni lo infinito ni lo finito es como decir que no podemos concebir nada. Pero, m¨¢s que inquietante, ?no es sencillamente absurda la afirmaci¨®n de Poe? ?Acaso no vemos e imaginamos continuamente cosas finitas?

Continuamente vemos cosas finitas, en efecto. Pero solo podemos verlas o imaginarlas en un entorno y en relaci¨®n con ¨¦l. Prueba a imaginar una esfera; cuando menos, tendr¨¢s que imaginarla suspendida en el espacio, como un planeta solitario. Y a ese espacio circundante sin el cual la esfera no es posible ni siquiera como imagen mental, no podemos ponerle l¨ªmites definitivos, definitorios. No podemos concebir lo infinito, pero tampoco lo finito, pues la imaginaci¨®n viaja inmediatamente hasta esa imposible frontera del espacio y pregunta qu¨¦ hay m¨¢s all¨¢. Como arriba y abajo, como anverso y reverso, finito e infinito son conceptos que no pueden existir por separado, que se determinan mutuamente.

Y lo anterior vale tanto para lo infinitamente grande como para lo infinitamente peque?o. Dem¨®crito, tras oler un panecillo reci¨¦n horneado, lleg¨® a la conclusi¨®n de que no se puede dividir indefinidamente un trozo de pan en migas cada vez m¨¢s peque?as. Y la f¨ªsica del siglo XX le dio la raz¨®n. Pero los objetos matem¨¢ticos no est¨¢n sometidos a las leyes de la naturaleza; no han de obedecer m¨¢s reglas que las que se desprenden de sus propias definiciones. Un pol¨ªgono regular inscrito en una circunferencia puede tener tantos lados como queramos, y cuanto mayor sea el n¨²mero de lados, m¨¢s se aproximar¨¢ el per¨ªmetro del pol¨ªgono a la longitud de la circunferencia, y su ¨¢rea a la del c¨ªrculo correspondiente. Y lo mismo se puede decir de un poliedro inscrito en una esfera. A partir de este tipo de consideraciones -este vertiginoso viaje de ida y vuelta de lo finito a lo infinito- Arqu¨ªmedes pudo hallar, anticip¨¢ndose dos mil a?os al c¨¢lculo infinitesimal, el volumen de la esfera, del cilindro y del cono. Con lo que volvemos al abeto navide?o, la entra?able con¨ªfera.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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