Nuevas t¨¦cnicas para estudiar mezclas de fluidos turbulentos

Uno de los grandes logros de las matem¨¢ticas es ofrecer modelos que predicen la evoluci¨®n de sistemas f¨ªsicos basados en principios b¨¢sicos. Desde tiempos de Isaac Newton, las llamadas ecuaciones diferenciales constituyen uno de los modelos m¨¢s eficaces. Para estudiar estas ecuaciones habitualmente se emplean m¨¦todos avanzados de la teor¨ªa de ecuaciones en derivadas parciales, bien entendidos por los investigadores. Pero cuando aparecen situaciones inestables, estos fallan. Es necesario, por tanto, inventar enfoques radicalmente distintos, cuyo desarrollo es un reto de la investigaci¨®n actual.

Las inestabilidades aparecen constantemente tanto en la teor¨ªa matem¨¢tica como en la naturaleza. Un ejemplo es la evoluci¨®n de dos fluidos distintos que se mezclan, como el agua y el vino, o el agua y el petr¨®leo. Esta ¨²ltima situaci¨®n ¨Cespecialmente, cuando sucede en un medio poroso¨C tiene una gran importancia pr¨¢ctica. En 1930 el ingeniero Morris Muskat buscaba la forma de extraer petr¨®leo mediante la inyecci¨®n en la tierra de agua a presi¨®n. Para modelizar la evoluci¨®n de los fluidos ide¨® un sistema de tres ecuaciones en derivadas parciales acopladas, que se corresponden a la ley de conservaci¨®n de la masa, la conservaci¨®n del volumen ocupado por los fluidos (incompresibles) y la ley (constitutiva) de Darcy. Esta ¨²ltima postula que, en un medio poroso, la velocidad del flujo es proporcional a la suma de las fuerzas que act¨²an sobre ¨¦l; en este caso, la presi¨®n y la gravedad.

Lo que conocemos como el problema de Muskat entra?a una dificultad especial en el caso en el que el fluido m¨¢s denso yace por encima del otro, debido a que la fuerza la gravedad introduce una inestabilidad en el sistema que provoca que los m¨¦todos cl¨¢sicos no se puedan aplicar

La resoluci¨®n de estas ecuaciones, que es lo que hoy en d¨ªa conocemos como el problema de Muskat, entra?a una dificultad especial en el caso en el que el fluido m¨¢s denso yace por encima del otro, debido a que la fuerza la gravedad introduce una inestabilidad (la de Rayleigh-Taylor) en el sistema, que provoca que los m¨¦todos cl¨¢sicos no se puedan aplicar.

Recientemente se ha conseguido hallar soluciones al problema. Estas soluciones predicen la formaci¨®n de una zona donde los fluidos se mezclan desarrollando un extra?o, ca¨®tico e irregular patr¨®n llamado ¡°dedos viscosos¡±, observado experimentalmente. De alguna manera, las soluciones encuentran cierto orden en la turbulencia, prediciendo el tama?o y forma de esta zona de mezcla.

Para llegar a estas soluciones ha sido clave la respuesta a un famoso problema en geometr¨ªa diferencial, sobre deformaciones de la esfera. Es f¨¢cil reducir una esfera de radio uno a otra de radio 0.25 simplemente encogi¨¦ndola. Tambi¨¦n parece f¨¢cil meter una esfera de radio uno en una de 0.25 sin encogerla si nos permiten arrugarla mucho. Pero ?qu¨¦ pasa si no nos permiten ni encogerla ni arrugarla mucho? ?Podemos todav¨ªa meter una en la otra? En los a?os 50 del siglo pasado, el matem¨¢tico John Nash demostr¨® que s¨ª, se puede deformar la esfera de radio uno para meterla dentro de una de radio tan peque?o como se quiera sin que aparezcan esquinas o arrugas muy pronunciadas y sin encogerla, mediante infinitas dobleces cuidadosamente seleccionadas.

En 2008, dos j¨®venes matem¨¢ticos, Camillo De Lellis y L¨¢szl¨® Sz¨¦kelyhidi Jr., descubrieron que la teor¨ªa de integraci¨®n convexa pod¨ªa ser adaptada a la mec¨¢nica de fluidos

Este resultado imposible constituy¨® el embri¨®n de un nuevo concepto matem¨¢tico, la integraci¨®n convexa, crucial desde entonces en la geometr¨ªa diferencial. En 2008, dos j¨®venes matem¨¢ticos, Camillo De Lellis y L¨¢szl¨® Sz¨¦kelyhidi Jr., descubrieron que la teor¨ªa de integraci¨®n convexa pod¨ªa ser adaptada a la mec¨¢nica de fluidos. Con ella, obtuvieron nuevas soluciones para las ecuaciones de Euler (la ecuaci¨®n madre de todas las ecuaciones de fluidos) con un comportamiento sorprendente y que fueron bautizadas como ¡°soluciones salvajes¡±, debido a su irregularidad. Su construcci¨®n es una aut¨¦ntica obra de orfebrer¨ªa matem¨¢tica y ha dado lugar a herramientas que permiten atacar otros problemas, como por ejemplo el del r¨¦gimen inestable de Muskat.

Desde un punto de vista f¨ªsico, la clave es la dualidad entre la descripci¨®n macrosc¨®pica y microsc¨®pica del fluido. Macrosc¨®picamente la evoluci¨®n es la de un movimiento cl¨¢sico: el fluido m¨¢s pesado va intercambi¨¢ndose poco a poco con el m¨¢s ligero. Microsc¨®picamente la evoluci¨®n es altamente irregular y describe un patr¨®n semejante al que est¨¢ presente en la elaboraci¨®n de modernos metamateriales. Volviendo a las ideas de Nash, la interpretaci¨®n macrosc¨®pica del fluido se corresponde con el encogimiento natural de la esfera que no preserva las distancias, y la versi¨®n microsc¨®pica a los dobleces de Nash.

En los reg¨ªmenes turbulentos el comportamiento macrosc¨®pico de las soluciones viene descrito por la relajaci¨®n ¨Ces decir, menor exigencia¨C de las relaciones no lineales del problema. En la versi¨®n macrosc¨®pica del problema Muskat, la relaci¨®n de flujo igual a masa por velocidad se substituye por flujo ¡°no demasiado distinto¡± de masa por velocidad. De forma rigurosa esta relaci¨®n se expresa geom¨¦tricamente imponiendo que el flujo, la velocidad y la densidad pertenezcan a un conjunto de cinco dimensiones conocido como la relajaci¨®n del problema de Muskat.

Tras un an¨¢lisis puramente geom¨¦trico, las dificultades contin¨²an, porque no existe teor¨ªa para resolver las nuevas ecuaciones relajadas

Por tanto, el primer objetivo es entender la geometr¨ªa de este espacio. Tras este an¨¢lisis puramente geom¨¦trico las dificultades contin¨²an, porque no existe teor¨ªa para resolver las nuevas ecuaciones relajadas. Sin embargo, en un trabajo que saldr¨¢ publicado en la revista Inventiones Mathematicae se ha postulado una estrategia, matem¨¢ticamente innovadora, para abordar y resolver dichas ecuaciones relajadas.

De este modo, el programa que estamos desarrollando propone una manera sistem¨¢tica de abordar problemas f¨ªsicamente inestables, que hasta este momento eran inaccesibles para la teor¨ªa. Por supuesto, estos trabajos generan nuevas preguntas fascinantes: ?debemos modificar las tradicionales relaciones constitutivas en reg¨ªmenes turbulentos?, ?podemos llegar a nuevos conceptos en f¨ªsica te¨®rica a partir de estas soluciones salvajes?¡­ Como siempre ocurre en ciencia, una respuesta es la puerta para mil preguntas nuevas.

?ngel Castro y Diego C¨®rdoba son investigadores del ICMAT, Daniel Faraco es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G-Longoria (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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