Un matem¨¢tico con mucho jazz

El pasado mes de febrero falleci¨® Isadore Manuel Singer, profesor em¨¦rito del Instituto de Tecnolog¨ªa de Massachusetts (MIT) y ganador del Premio Abel. Su contribuci¨®n m¨¢s relevante, el teorema del ¨ªndice de Atiyah-Singer, propone una profunda relaci¨®n entre la topolog¨ªa, la geometr¨ªa y el an¨¢lisis, cuyas ramificaciones llegan incluso a la f¨ªsica te¨®rica. M¨¢s all¨¢ de las matem¨¢ticas, Singer fue miembro del Consejo Cient¨ªfico de la Casa Blanca y dirigi¨® el Comit¨¦ de Ciencia y Pol¨ªticas P¨²blicas de la Academia de Ciencias estadounidense, donde trat¨® temas como el manejo de los residuos nucleares o la privacidad en la era de la inform¨¢tica, adelant¨¢ndose casi 20 a?os a su ¨¦poca.

Singer naci¨® en 1924 en una familia muy humilde de inmigrantes polacos; su padre era pintor y su madre, ¡°la persona m¨¢s inteligente que conoci¨® en su vida¡± ¨Cseg¨²n el propio Singer¨C, costurera. Durante la Gran Recesi¨®n y los a?os posteriores, la familia padeci¨® severas estrecheces econ¨®micas y Singer tuvo que compaginar varios trabajos para costearse su formaci¨®n. Aunque consigui¨® una beca para estudiar F¨ªsica en la Universidad de Michigan (EE UU), para subsistir revend¨ªa las entradas de f¨²tbol que consegu¨ªa gratis por ser estudiante.

En 1944, tras finalizar la carrera en tan solo dos a?os y medio, se traslad¨® a Filipinas como operador de radar del ej¨¦rcito estadounidense. Por las noches, mientras sus compa?eros se desplumaban al p¨®ker, ¨¦l trataba de entender la relatividad general y la mec¨¢nica cu¨¢ntica siguiendo los cursos por correspondencia de Geometr¨ªa y Teor¨ªa de Grupos que ofertaba la Universidad de Chicago.

Singer proven¨ªa de una familia muy humilde. En la universidad, subsist¨ªa revendiendo las entradas de f¨²tbol que le regalaban por ser estudiante

Frustrado, a su vuelta de Filipinas en 1947, decidi¨® matricularse en un curso de matem¨¢ticas de esa misma universidad. Tras un a?o de m¨¢ster, la disciplina le cautiv¨®; sinti¨® que ¡°era su campo¡± y decidi¨® hacer el doctorado con el analista Irving Segal, quien se convertir¨ªa en uno de sus referentes ¨Cel otro ser¨ªa Shiing-Shen Chern a quien conocer¨ªa en su ¨²ltimo a?o en Chicago¨C. En 1950 termin¨® su tesis y se traslad¨® al MIT como postdoc; all¨ª desarrollar¨ªa gran parte de su carrera.

El mismo d¨ªa que lleg¨® al MIT se sinti¨® en casa, algo que no hab¨ªa sucedido en muchos a?os. En la secretar¨ªa del departamento, Singer conoci¨® al tambi¨¦n matem¨¢tico Warren Ambrose y de forma inmediata comenz¨® su amistad y colaboraci¨®n, que durar¨ªa toda la vida. Casi todas las noches se encontraban en la cafeter¨ªa Hayes-Bickford para hablar de matem¨¢ticas con un entusiasmo contagioso. Otras veces se refugiaban en clubes de jazz donde, si ten¨ªan suerte, pod¨ªan escuchar a Ella Fitzgerald o tomar caf¨¦ con Billie Holliday entre bambalinas. A pesar de todo, no fue una ¨¦poca f¨¢cil para Singer, pues su hijo hab¨ªa nacido con serios problemas de salud. Singer nunca se cans¨® de reconocer que no hubiera sobrevivido como matem¨¢tico sin el apoyo constante de Ambrose.

La colaboraci¨®n dio sus frutos: Ambrose y Singer revolucionaron la ense?anza de la geometr¨ªa diferencial en el MIT y en 1953 publicaron un teorema que relacionaba la curvatura con la holonom¨ªa y que determinar¨ªa el desarrollo de la geometr¨ªa diferencial en las siguientes d¨¦cadas.

La colaboraci¨®n entre Ambrose y Singer dio lugar a un teorema que marcar¨ªa el desarrollo de la geometr¨ªa diferencial en las d¨¦cadas posteriores

Sin embargo, su colaboraci¨®n m¨¢s fruct¨ªfera fue con Michael Atiyah, a quien hab¨ªa conocido en 1955 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE UU). Como todos, Singer no hab¨ªa podido resistirse a la mezcla portentosa de brillantez, entusiasmo contagioso y energ¨ªa que caracterizaban a Atiyah y que har¨ªan de ¨¦l uno de los matem¨¢ticos m¨¢s c¨¦lebres del siglo XX. En 1962 Singer solicit¨® un a?o sab¨¢tico en el MIT, y decidi¨® instalarse en Oxford para trabajar con Atiyah. Nada m¨¢s recibirlo, el ingl¨¦s le lanz¨® una pregunta: ¡°?Por qu¨¦ el ?-g¨¦nero es un n¨²mero entero para variedades spin?¡±. Aunque Atiyah conoc¨ªa la respuesta, present¨ªa que hab¨ªa una raz¨®n m¨¢s profunda. La cuesti¨®n intrig¨® tanto a Singer que se puso a trabajar de inmediato en el problema.

El ?-g¨¦nero de un espacio geom¨¦trico es un polinomio cuyos coeficientes son n¨²meros racionales y sus variables indeterminadas vienen dadas por ciertos invariantes topol¨®gicos. Como se opera con n¨²meros racionales, se esperar¨ªa que, tras realizar todos los c¨¢lculos, el ?-g¨¦nero fuera un n¨²mero racional. Sin embargo, a principios de los a?os sesenta, los matem¨¢ticos hab¨ªan empleado t¨¦cnicas muy sofisticadas de la topolog¨ªa algebraica para probar que para una clase muy concreta de espacios geom¨¦tricos ¨Clas variedades spin¨C, sorprendentemente, el ?-g¨¦nero es un n¨²mero entero.

En febrero de 1962, Singer conjetur¨® que este n¨²mero entero deber¨ªa ser la resta de dos n¨²meros naturales que cuentan objetos matem¨¢ticos. Gracias a su formaci¨®n en an¨¢lisis, Singer se dio cuenta de que en realidad estaban contabilizando soluciones de ecuaciones diferenciales, expresadas como operadores geom¨¦tricos. En marzo, Singer anunci¨® a Atiyah su descubrimiento: el ?-g¨¦nero surge al contar el n¨²mero de soluciones del operador de Dirac generalizado a variedades spin.

Consiguieron dar una f¨®rmula expl¨ªcita para calcular un invariante topol¨®gico y generalizaron el ?-g¨¦nero que les hab¨ªa servido como gu¨ªa

A partir de ese momento, dedicaron los siguientes 18 meses a formalizar uno de los teoremas fundamentales del siglo XX: el teorema del ¨ªndice. Atiyah aport¨® sus profundos conocimientos de topolog¨ªa y geometr¨ªa algebraica, y Singer los suyos de an¨¢lisis y geometr¨ªa diferencial. El enunciado final asegura que, dada una ecuaci¨®n diferencial de cierto tipo, su ¨ªndice ¨Cla diferencia entre el n¨²mero de par¨¢metros necesarios para describir sus soluciones y el n¨²mero de relaciones impuestas por la ecuaci¨®n diferencial¨C es un invariante topol¨®gico. Quiz¨¢s lo m¨¢s importante fue que consiguieron dar una f¨®rmula expl¨ªcita para calcularlo en t¨¦rminos de objetos topol¨®gicos bien conocidos, generalizando el ?-g¨¦nero que les hab¨ªa servido como gu¨ªa.

M¨¢s que un teorema, el resultado es una teor¨ªa. Durante veinticinco a?os, Atiyah y Singer encontraron nuevas demostraciones que proporcionaban nuevos enfoques y exploraron sus ramificaciones, especialmente en relaci¨®n con las teor¨ªas gauge en f¨ªsica. Por tanto, no es de extra?ar que Atiyah y Singer ganaran el Premio Abel en el a?o 2004, quiz¨¢s el m¨¢s prestigioso de la imponente lista de los premios que Singer recibi¨® a lo largo de su carrera.

Singer compar¨® su colaboraci¨®n con Michael Atiyah con la canci¨®n de Cole Porter ¡°Anything Goes¡± (todo vale). Sin embargo, los que le conocieron coinciden en que esa descripci¨®n se ajustaba al enfoque de las matem¨¢ticas del propio Singer. Al final, Singer era ¨²nico por su estilo directo, improvisado y con facilidad para dejarse llevar por el problema y por la intuici¨®n. Puro jazz.

David Fern¨¢ndez ?lvarez es investigador posdoctoral en la Universidad de Bielefeld (Alemania)

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G-Longoria (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.