As¨ª se curva el espacio

Una de las ideas m¨¢s cautivadoras de la teor¨ªa de la relatividad general de Albert Einstein es que la luz viaja a velocidad constante, describiendo trayectorias que minimizan la distancia entre puntos. M¨¢s sorprendente todav¨ªa es la conclusi¨®n de que el espacio y el tiempo deben curvarse para acomodar este fen¨®meno. ?Qu¨¦ significa esto? ?C¨®mo son los espacios curvados? ?Qu¨¦ es la curvatura, y c¨®mo se mide?

Dar una definici¨®n precisa de qu¨¦ es la curvatura requiere de conceptos matem¨¢ticos avanzados, pero podemos describir la curvatura de manera cualitativa en algunas situaciones. Por ejemplo, cuando el espacio en cuesti¨®n es igual para todos los observadores (es decir, es homog¨¦neo) y tiene la misma pinta en todas las direcciones (isotr¨®pico). Aunque esto no es cierto de manera local para nuestro universo ¡ªel Sistema Solar es muy diferente de una regi¨®n vac¨ªa¡ª, el principio cosmol¨®gico afirma que estas propiedades se satisfacen a gran escala.

En estos espacios, la curvatura se mide por el defecto angular de tri¨¢ngulos. Si tenemos tres puntos en el espacio, que conectamos por los caminos m¨¢s cortos entre ellos (ojo, estos pueden no ser l¨ªneas rectas, como ocurre en el caso de una esfera), se obtiene un tri¨¢ngulo con v¨¦rtices en esos puntos. Para obtener el defecto angular calculamos la suma de los ¨¢ngulos del tri¨¢ngulo y restamos 180?. El resultado (que puede ser positivo, negativo o cero) es proporcional al ¨¢rea del tri¨¢ngulo, y el cociente del defecto angular por el ¨¢rea es precisamente la curvatura del espacio.

Si la curvatura es cero, nos encontramos con la geometr¨ªa eucl¨ªdea que estudiamos en la escuela, donde todos los tri¨¢ngulos tienen ¨¢ngulos que suman 180?. A este tipo de espacios los llamamos espacios planos. Cuando la curvatura es positiva, los tri¨¢ngulos son m¨¢s gordos que los tri¨¢ngulos eucl¨ªdeos, como los que uno dibuja en una esfera. Por esta raz¨®n, este tipo de espacios se llaman esf¨¦ricos; por supuesto, una esfera es un ejemplo de ellos. Finalmente, si la curvatura toma valores negativos , el tri¨¢ngulo es m¨¢s fino que un tri¨¢ngulo eucl¨ªdeo, como el que dibujar¨ªamos en la superficie de una silla de montar, que recibe el nombre de paraboloide hiperb¨®lico. Por esta raz¨®n, este tipo de espacios se llaman espacios hiperb¨®licos. Dar ejemplos de espacios hiperb¨®licos es m¨¢s complicado, aunque podemos mencionar la pseudoesfera, que es la superficie que resulta de rotar la curva llamada tractriz a lo largo de una recta.

La mayor parte de la evidencia experimental (basada en el an¨¢lisis de la radiaci¨®n de fondo) sugiere que el universo es plano a gran escala, con un margen de error razonablemente peque?o.

Visualizar la curvatura es m¨¢s sencillo cuando observamos superficies ¡ªobjetos de dos dimensiones¡ª dentro del espacio tridimensional. En este caso, la curvatura mide c¨®mo y cu¨¢nto, la superficie se retuerce en el espacio

Visualizar la curvatura es m¨¢s sencillo cuando observamos superficies ¡ªobjetos de dos dimensiones¡ª dentro del espacio tridimensional. En este caso, la curvatura mide c¨®mo y cu¨¢nto, la superficie se retuerce en el espacio. De manera m¨¢s concreta, si la superficie tiene curvatura positiva, cada uno de sus puntos parece una c¨²pula; si la curvatura es cero, entonces la superficie parece una l¨ªnea recta en al menos una direcci¨®n, como en el caso de un plano o un cilindro; finalmente, todo punto de una superficie de curvatura negativa es un punto de silla: cerca del punto, la superficie se curva ¡°hacia arriba¡± en una direcci¨®n, y ¡°hacia abajo¡± en otra, como ocurre cerca de los bordes de una hoja de kale.

En general, una superficie puede tener puntos de curvatura positiva, negativa y nula, como ocurre con la superficie de un d¨®nut. Si imaginamos esta superficie apoyada en el suelo, los puntos del c¨ªrculo interior tienen curvatura negativa; los del c¨ªrculo exterior, curvatura positiva; y los de los c¨ªrculos superior e inferior, curvatura cero.

Por supuesto, ser capaz de observar un objeto desde fuera ofrece un punto de vista inmejorable para describir su forma. En esta situaci¨®n, la curvatura hace referencia a una cualidad extr¨ªnseca de la superficie, que describe su forma en funci¨®n del espacio que la rodea. No podemos disponer de este punto de vista en el caso de nuestro universo, ya que no hay nada fuera de ¨¦l. De esta manera, la curvatura se convierte en una cualidad intr¨ªnseca y ofrece informaci¨®n sobre la forma del espacio tal y como ser¨ªa percibida por una persona que viviera en ¨¦l, sin ning¨²n conocimiento de un espacio exterior, como ocurre con el defecto angular.

El hecho de que ambos puntos de vista coinciden fue demostrado por uno de los padres de la geometr¨ªa moderna, el matem¨¢tico alem¨¢n Carl Friedrich Gauss (1777-1885), quien qued¨® tan impresionado por su descubrimiento que lo llam¨® Theorema Egregium (teorema notable).

Javier Aramayona es cient¨ªfico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas y miembro del ICMAT.

Jeffrey F. Brock es decano de ciencias de la Facultad de Artes y Ciencias y decano de Ingenier¨ªa y Ciencia Aplicada en la Universidad de Yale (EE UU), donde ocupa la C¨¢tedra Zhao and Ji de Matem¨¢ticas.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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