La ¨®rbita del telescopio ¡®James Webb¡¯ y el problema de los tres cuerpos

El mayor telescopio espacial de la historia, el James Webb (JWST, por sus siglas en ingl¨¦s), lanzado a finales del a?o 2021, ofrece im¨¢genes de una resoluci¨®n y sensibilidad sin precedentes. Sus instrumentos de observaci¨®n operan en el espectro infrarrojo y su correcto funcionamiento requiere temperaturas por debajo de los -220?C. Esto exige protegerlos tanto de la radiaci¨®n directa del Sol como de la reflejada por la Tierra y la Luna, para lo que se ha equipado al telescopio con un gran parasol.

Pero, para que sea efectivo, el JWST debe seguir una ¨®rbita en la que, siempre, en cualquier punto, el Sol, la Tierra y la Luna est¨¦n en la misma direcci¨®n ¨Cseg¨²n la cual se orientar¨¢ el parasol¨C. Esta ¨®rbita no puede ser alrededor de la Tierra, como la del telescopio Hubble, sino que ha sido necesario dise?ar una opci¨®n m¨¢s sofisticada, con ayuda de la teor¨ªa de los sistemas din¨¢micos.

Un punto que cumple la propiedad deseada es el llamado punto L2 del sistema Tierra-Sol. Se halla a 1.5 millones de km de la Tierra ¨Cunas cuatro veces la distancia entre la Tierra y la Luna¨C en direcci¨®n opuesta al Sol. Su localizaci¨®n deriva de los trabajos de los matem¨¢ticos Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange, en el siglo XVIII, sobre el problema de los tres cuerpos. En concreto, estudiaron un sistema de dos masas, movi¨¦ndose en ¨®rbitas circulares alrededor de su centro de masas y una tercera masa muy peque?a (un asteroide o sat¨¦lite artificial) que se mueve bajo la atracci¨®n gravitatoria de las dos primeras.

Euler y Lagrange probaron que existen cinco posiciones de equilibrio para la tercera masa: tres de esas posiciones (L1, L2 y L3) se mantienen siempre en la l¨ªnea que une las masas y las otras dos (L4 y L5) forman un tri¨¢ngulo equil¨¢tero con las mismas. Adem¨¢s, como las cinco posiciones se mueven junto a las dos masas, se mantiene siempre la misma configuraci¨®n. Por tanto, si las masas son la Tierra y el Sol y se coloca un sat¨¦lite en el punto L2, ¨¦ste se mover¨¢ alrededor del Sol acompa?ando a la Tierra, manteni¨¦ndose en la l¨ªnea que une el Sol y la Tierra, como se muestra en la imagen.

La ¨®rbita L2 tiene una caracter¨ªstica importante: es inestable. Esto significa que cualquier objeto situado en ella, con el paso del tiempo, se ir¨¢ desviando de la misma y escapar¨¢. Cerca de L2 hay otras ¨®rbitas menos inestables, que tambi¨¦n cumplen los requisitos de la misi¨®n y que, adem¨¢s, permiten esquivar la sombra de la Tierra y de la Luna, lo que ofrece una ventaja adicional, dado que el JWST funciona con energ¨ªa el¨¦ctrica obtenida mediante paneles solares. Son las llamadas ¨®rbitas Halo, que dan vueltas alrededor de L2 y lo acompa?an en su viaje alrededor del Sol. Una de ellas fue la elegida para emplazar el nuevo telescopio. Como es inestable, se requieren maniobras correctoras de la trayectoria, para mantener al JWST en la ¨®rbita.

Una ventaja de la inestabilidad de una ¨®rbita es que sabemos que existe un conjunto (reducido) de trayectorias de transferencia, que se aproximan a ella. Es decir, al situar el JWST en una de estas trayectorias, estar¨¢ cada vez m¨¢s cerca de la ¨®rbita Halo, a medida que el tiempo avanza. El conjunto de todas estas trayectorias de transferencia forma lo que en matem¨¢ticas se conoce como una variedad diferenciable.

El c¨¢lculo de esta variedad se realiza mediante algoritmos implementados por ordenador, que permiten ver que una parte de ella est¨¢ pr¨®xima a la Tierra: la perfecta para enviar el JWST a su destino. As¨ª, el cohete Ariane 5 usado en el lanzamiento desde Kourou (Guayana Francesa) no dej¨® al telescopio en ¨®rbita alrededor de la Tierra, como ser¨ªa lo habitual, sino que lo propuls¨® hasta esta trayectoria de transferencia cercana. Hasta alcanzar la ¨®rbita Halo final, el viaje fue muy r¨¢pido al principio ¨Csolo se tardaron unos tres d¨ªas hasta rebasar la ¨®rbita de la Luna¨C y m¨¢s lento conforme se fue acercando al destino, que se alcanz¨® tras unos 30 d¨ªas desde el lanzamiento.

?ngel Jorba es catedr¨¢tico de Matem¨¢tica Aplicada de la Universidad de Barcelona

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.