?Existe un sistema electoral sin voto ¨²til?

Entre el 6 y el 9 de junio se celebran elecciones para renovar el Parlamento Europeo. Para seleccionar a sus representantes, la ciudadan¨ªa cuenta con un sistema de voto, que refleja, de cierto modo, sus preferencias. Sin embargo, igual que cualquier otro sistema electoral, el m¨¦todo empleado tiene sus limitaciones; no es perfecto ¨Cesta afirmaci¨®n se basa en un teorema, el de imposibilidad de Arrow¨C. Este y otras herramientas matem¨¢ticas permiten analizar y entender los sistemas de votaci¨®n; por ejemplo, aseguran que no hay ning¨²n sistema de votaci¨®n m¨ªnimamente democr¨¢tico en el que no pueda darse el llamado voto ¨²til.

El voto ¨²til, es decir, decantarse por una opci¨®n distinta de la preferida con el objetivo de maximizar la satisfacci¨®n con el resultado electoral, puede presentar ciertos dilemas. Por un lado, es un procedimiento m¨¢s complicado que, simplemente, votar a la opci¨®n preferida, ya que resulta imposible determinar qu¨¦ alternativa conviene escoger sin conocer las preferencias del resto de votantes, las cuales no podemos saber a ciencia cierta. Por otro lado, esta estrategia supone no reflejar con el voto nuestras verdaderas preferencias pol¨ªticas.

Pero, ?podr¨ªamos definir un sistema de votaci¨®n en el que todos los participantes tuvieran garantizado que, si votan a su candidato predilecto, el resultado electoral que se obtendr¨¢ ser¨¢, al menos, igual de bueno para ellos que el que se decidir¨ªa si optaran por otra estrategia de voto? Las matem¨¢ticas pueden ayudarnos a ver si existe este sistema de votaci¨®n id¨®neo, en el que no tendr¨ªa sentido el voto ¨²til.

Para realizar el an¨¢lisis, vamos a centrarnos en el tipo m¨¢s sencillo de elecciones, unas en las que ¨²nicamente sale elegido un candidato ¨Cpor ejemplo, un presidente¨C. En este contexto, que ofrece la rama de las matem¨¢ticas llamada teor¨ªa de la elecci¨®n social, podemos ver un sistema de votaci¨®n como un ?juego?, cuyo desarrollo depende de la estrategia de voto seguida por cada votante y cuyo resultado es el candidato que gana las elecciones. Si un votante posee una estrategia de voto que asegura una satisfacci¨®n con el resultado igual o mejor que el obtenido con cualquier otra estrategia, se dice que ese votante posee una estrategia dominante. Si todo votante, independientemente de sus preferencias, siempre tiene a su disposici¨®n una estrategia dominante, se dice que es un juego simple. En ese caso, los jugadores no necesitan romperse la cabeza para encontrar la estrategia que les resultar¨¢ m¨¢s beneficiosa, pues siempre pueden llevar a cabo la estrategia dominante, la cual les garantiza un r¨¦dito igual o superior al de cualquier otra.

El sistema de votaci¨®n id¨®neo que buscamos es, entonces, un juego simple en el que la estrategia del voto honesto ¨Ccada uno vota a su candidato preferido¨C es dominante para todos los jugadores. Sin embargo, como el fil¨®sofo Allan Gibbard demostr¨® en 1973, no es f¨¢cil construir juegos simples con buenas propiedades. En efecto, el teorema de Gibbard afirma que si un juego es simple y admite al menos tres resultados distintos, entonces es, necesariamente, dictatorial. Es decir, que existe un jugador ¨Cllamado dictador¨C que posee una estrategia infalible que le permite obtener cualquier resultado; as¨ª, si el dictador quiere que el resultado del juego sea uno concreto, siempre dispone de una estrategia para conseguirlo, independiente de las estrategias que escojan los dem¨¢s jugadores.

Por tanto, el teorema de Gibbard indica que el sistema id¨®neo de votaci¨®n que buscamos, en el que el voto honesto es la estrategia ¨®ptima, no puede existir, pues, de hacerlo, ser¨ªa un sistema dictatorial. En conclusi¨®n, independientemente del sistema de votaci¨®n que empleemos, siempre va a haber situaciones en las que tenga sentido la estrategia del voto ¨²til y, por consiguiente, los dilemas derivados de la misma son ineludibles. La vida no es tan f¨¢cil.

Andr¨¦s La¨ªn Sanclemente es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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