La urna de P¨®lya

La versi¨®n simplificada del teorema del s¨¢ndwich planteada la semana pasada fue abordada as¨ª por Rafael Granero:

¡°Toda recta que divida un folio en dos partes iguales tiene que pasar por su centro. Hay infinitas rectas que dividen en dos partes iguales a ese folio, y todas pasan por su centro. Para toda figura geom¨¦trica regular inserta en ese folio, alguna de esas rectas que dividen en partes iguales al folio necesariamente pasar¨¢ por el centro de esa figura, por lo que ...

La versi¨®n simplificada del teorema del s¨¢ndwich planteada la semana pasada fue abordada as¨ª por Rafael Granero:

¡°Toda recta que divida un folio en dos partes iguales tiene que pasar por su centro. Hay infinitas rectas que dividen en dos partes iguales a ese folio, y todas pasan por su centro. Para toda figura geom¨¦trica regular inserta en ese folio, alguna de esas rectas que dividen en partes iguales al folio necesariamente pasar¨¢ por el centro de esa figura, por lo que la dividir¨¢ en dos partes iguales. ?Pasar¨¢ lo mismo si la figura es irregular? Dado que hay infinitas rectas que, dividiendo en dos mitades iguales al folio, dividen a la figura, y cuyo incremento/decremento de superficie de las partes es infinitesimal, la respuesta es s¨ª: una entre esas infinitas rectas divide tambi¨¦n la figura irregular en dos partes iguales¡±.

Y a?adi¨® Manuel Amor¨®s:

¡°La misma idea puede generalizarse si el borde exterior no es un rect¨¢ngulo sino una l¨ªnea cerrada cualquiera. En este caso no hay un centro maravilloso, pero para cada inclinaci¨®n posible hay una recta que divide en dos el ¨¢rea externa, y de todas ellas hay una que tambi¨¦n bisecciona al ¨¢rea interna¡±.

La urna marciana

Ignacio Alonso trajo a colaci¨®n este curioso problema:

La probabilidad de que llueva hoy es del 60%.

Si llueve hoy, la probabilidad de que llueva ma?ana aumentar¨¢ en un 10%.

Si no llueve hoy, la probabilidad de que llueva ma?ana disminuir¨¢ en un 10%.

?Cu¨¢l es la probabilidad de que finalmente acabe lloviendo todos los d¨ªas?

Y Francisco Montesinos (esta semana la secci¨®n la han hecho casi entera los lectores, benditos sean) se?al¨® la relaci¨®n de este problema con la urna de P¨®lya, denominada as¨ª en honor del matem¨¢tico h¨²ngaro George P¨®lya, conocido por sus trabajos sobre teor¨ªa de n¨²meros, combinatoria y heur¨ªstica, y por formar parte (junto con Paul Erd?s, John von Neumann y Eugene Wigner, entre otros), del grupo de prominentes cient¨ªficos h¨²ngaros conocidos como ¡°los marcianos¡±.

La urna de P¨®lya es un modelo muy simple capaz de explicar desarrollos complejos en los que interviene el azar:

Se parte de una urna que contiene una bola negra y otra blanca. El primer paso consiste en sacar una bola, que luego se devuelve a la urna junto con otra del mismo color. Es decir, si sale una bola negra, se mete de nuevo esa bola en la urna y una negra m¨¢s, de forma que en ahora habr¨¢ 2 negras y 1 blanca.

En el siguiente paso se vuelve a sacar una bola, pero ahora en la urna hay 3 bolas, 2 negras y 1 blanca, con lo que la probabilidad de sacar una bola negra, que antes era 1/2, ahora es 2/3.

Al contrario de lo que ocurre al lanzar una moneda, donde el hecho de que salga cara o cruz no afecta a lo que suceder¨¢ en lanzamientos sucesivos, en la urna de P¨®lya el resultado de cada extracci¨®n influye en el resultado de la siguiente.

Invito a mis sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre la aplicabilidad de este modelo a la explicaci¨®n de fen¨®menos de la vida real que podr¨ªan tener que ver con el azar m¨¢s de lo que parece. Como, por ejemplo, el hecho de que los ricos sean cada vez m¨¢s ricos, o la elecci¨®n final de una mujer que duda entre dos hombres (una situaci¨®n t¨ªpica de las comedias rom¨¢nticas). As¨ª como a estudiar posibles variantes de la urna de P¨®lya (por ejemplo, si en vez de a?adir una sola bola del mismo color que la extra¨ªda, le a?adimos dos).

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