Teorema del s¨¢ndwich

Con respecto al truco matem¨¢gico de las 21 cartas planteado la semana pasada, comenta David Fern¨¢ndez: ¡°Lo mejor para resolver los trucos matem¨¢ticos del mago es hacerlo t¨² mismo. En el caso de las 21 cartas, el mago siempre hace lo mismo en cada iteraci¨®n, las distribuye una a una en tres montones de 7 cartas y coloca en el medio el mont¨®n donde est¨¢ la carta, es decir, siempre aplica la misma transformaci¨®n o funci¨®n a la posici¨®n de la carta. Si existe una posici¨®n que, aplicada la funci¨®n, da

como resultado la misma posici¨®n, el mago puede adivinar la carta. Quiz¨¢ es m¨¢s sencillo de observar si el mago usa 27 cartas en 3 montones de 9 cartas¡±. Y a?ade Luca Tanganelli: ¡°S¨ª, realmente el mago est¨¢ colocando la carta en la posici¨®n 3?+3?+3?=13. Con el primer ordenamiento decide el resto de su posici¨®n final al dividir por 3. Con el segundo decide el m¨®dulo 9, y con el tercero completa la posici¨®n final¡±.

Invito a mis sagaces lectoras y lectores a analizar este truco/algoritmo con distinto n¨²mero de cartas. Podr¨ªa ser un excelente ejercicio, muy did¨¢ctico, para realizar con ni?os.

Por su parte, Francisco Montesinos, m¨¢s t¨¦cnico, comenta: ¡°Decir que el mago est¨¢ manejando 3 permutaciones del grupo sim¨¦trico S9 de forma que su producto es la identidad no es decir gran cosa. Si i = p3.p2.p1, como cualquier permutaci¨®n puede descomponerse en producto de transposiciones, si conseguimos descomponer p1, p2 y p3 correctamente como producto de transposiciones y el n¨²mero del mago realmente funciona (de lo que tengo mis dudas) se ver¨¢ como las transposiciones se van anulando dos a dos hasta obtener realmente la identidad inicial¡±.

Dudas l¨ªcitas (siempre hay que dudar de los magos), pero el truco -el algoritmo- funciona, como es f¨¢cil comprobar realizando la maniobra unas cuantas veces.

El teorema con m¨¢s nombres

Algunos lectores, en las ¨²ltimas semanas, han planteado cuestiones relacionadas con el teorema del s¨¢ndwich, tambi¨¦n conocido como teorema de encaje, teorema de intercalaci¨®n, teorema de la funci¨®n comprendida, teorema de estricci¨®n, teorema del enclaustramiento, teorema de acotaci¨®n, teorema de compresi¨®n, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladr¨®n y los dos polic¨ªas, teorema del bocadillo o teorema de comparaci¨®n (y seguro que me dejo alg¨²n nombre).

Este teorema dice que si dos funciones tienen el mismo l¨ªmite, cualquier funci¨®n que pueda ser acotada entre ambas tendr¨¢ tambi¨¦n el mismo l¨ªmite.

Una habitual manera gr¨¢fica de expresar la idea, que es la que ha dado nombre al teorema, es que, si queremos repartir de forma equitativa entre dos personas un s¨¢ndwich de jam¨®n y queso, siempre podremos dividirlo, de un solo tajo, en dos partes que contengan la misma cantidad de pan, de queso y de jam¨®n, aunque la distribuci¨®n inicial de los ingredientes no sea homog¨¦nea.

La demostraci¨®n rigurosa del teorema no es dif¨ªcil, pero s¨ª larga y engorrosa, as¨ª que, para ir entrando en materia, propongo una versi¨®n m¨¢s simple:

En un folio o una cuartilla en blanco, dibuja una l¨ªnea cerrada cualquiera y luego traza una recta que divida en dos partes iguales tanto el folio como la superficie encerrada en la l¨ªnea. Demuestra que siempre es posible hacerlo, independientemente del tama?o y la forma de la figura dibujada (o encuentra una figura con la cual no sea posible tal divisi¨®n)

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.