El arte de doblar mapas

Si multiplicamos uno por otro los lados del pliego DIN A0, origen de la serie DIN, como vimos la semana pasada, obtenemos:

841 mm x 1189 mm = 1000049 mm?

es decir, casi exactamente un metro cuadrado, como se?ala en su comentario Erwin Schorr, con un error de apenas 5 cienmil¨¦simas.

Con respecto a la posibilidad de llegar a la Luna doblando papel, he aqu¨ª lo que comenta Salva Fuster:

¡°Siendo el grosor del papel de un d¨¦cimo de mm aproximadamente, al...

Si multiplicamos uno por otro los lados del pliego DIN A0, origen de la serie DIN, como vimos la semana pasada, obtenemos:

841 mm x 1189 mm = 1000049 mm?

es decir, casi exactamente un metro cuadrado, como se?ala en su comentario Erwin Schorr, con un error de apenas 5 cienmil¨¦simas.

Con respecto a la posibilidad de llegar a la Luna doblando papel, he aqu¨ª lo que comenta Salva Fuster:

¡°Siendo el grosor del papel de un d¨¦cimo de mm aproximadamente, al doblarlo 10 veces tendremos 210 veces el grosor inicial, lo que supone tener aproximadamente 1.000 veces m¨¢s que el grosor inicial, es decir, 100 mm (0,1 m) de grosor. Ahora bien, cada vez que doblemos 10 veces m¨¢s, el grosor se multiplicar¨¢ por 1.000. Por lo tanto, si hacemos 40 dobleces desde la situaci¨®n inicial, tendremos: 0,1 mm - 100 mm - 100 m - 100 km - 100 000 km Con un par de dobleces adicionales ya superar¨ªamos la distancia a la Luna, pues al hacer dos dobleces m¨¢s multiplicar¨ªamos el ¨²ltimo de los valores anteriores por 4. En conclusi¨®n, con 42 dobleces es suficiente. Respecto al tama?o de la hoja, teniendo en cuenta que un folio A4 se puede doblar hasta 7 veces, el A3 se podr¨ªa doblar 8 veces, el A2 9, el A1 10 y el A0 11 veces, es decir, un folio de 1 m? se podr¨ªa doblar 11 veces. Si queremos llegar a 42 dobleces, tendremos que doblarlo 31 veces m¨¢s, lo que significar¨ªa aumentar la superficie hasta 2?? m?, es decir, unos dos mil millones de metros cuadrados, o lo que es lo mismo, unos 2.000 km?, un tama?o similar al de Gipuzkoa. Ahora bien, seguramente ser¨ªa mejor utilizar una tira de papel y no un folio proporcional a un DIN A4¡å.

En cuanto a la raz¨®n de las ¨¢reas del pent¨¢culo y su antipent¨¢culo interior, si no la has hallado con las pistas dadas la semana pasada mereces caer en las garras del Maligno, pues la cosa es tan f¨¢cil como darse cuenta de que el lado del pent¨¢gono regular cuyas diagonales forman el pent¨¢culo es 1 + ¦µ = 2,62 veces mayor que el lado del pent¨¢gono interior, cuyas diagonales forman el antipent¨¢culo; por lo tanto, el ¨¢rea de pent¨¢culo ser¨¢ 2,62? = 6,86 veces mayor que la del antipent¨¢culo.

Los irritantes mapas de carreteras

Puede que los m¨¢s j¨®venes nunca hayan tenido que v¨¦rselas con un mapa de carreteras, ahora que cada m¨®vil y cada autom¨®vil tiene acceso al GPS; pero quienes venimos del siglo pasado hemos comprobado en m¨¢s de una ocasi¨®n lo f¨¢cil que es desdoblar un mapa y lo dif¨ªcil que es volver a doblarlo adecuadamente.

Consideremos un caso trivial: un mapa con un solo doblez vertical, V1, como el de la figura. Solo podemos doblarlo de dos maneras: ocultando el anverso, A, u ocultando el reverso, R, y podemos designar estos doblamientos como V1A y V1R.

Si en vez de estar dividido en dos mitades, el mapa elemental estuviera dividido en tres partes por dos dobleces verticales (como de hecho es normal en algunos folletos, no en vano llamados tr¨ªpticos), ?de cu¨¢ntas maneras distintas podr¨ªamos doblarlo?

V1A-V2A, V1A-V2R, V1R-V2A¡­

Spoiler: pueden parecer 8 (4 empezando por V1 y 4 empezando por V2), pero en realidad son 6 (?por qu¨¦?). Y tambi¨¦n podr¨ªa parecer que ese 6 es el resultado de 3! = 3 x 2 x 1, y que, por tanto, en el caso de tres dobleces verticales tendr¨ªamos 4! = 24 doblamientos diferentes, pero no es as¨ª. ?De cu¨¢ntas formas diferentes se puede doblar un ¡°cuatr¨ªptico¡±?

El problema general, con n dobleces, que parece relativamente sencillo, es complejo y escurridizo, y se complica a¨²n m¨¢s si, como en el caso de los mapas reales, hay a la vez dobleces verticales y horizontales; de hecho, no se ha encontrado todav¨ªa una f¨®rmula o un algoritmo claro para abordar el ¡°irritante¡± (as¨ª lo han calificado los propios matem¨¢ticos) problema del map folding.

Si quieres comprobar personalmente cu¨¢n irritante es, intenta determinar de cu¨¢ntas maneras distintas se puede doblar el sencillo mapa de la figura, con dos dobleces verticales y solo uno horizontal.

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