El arte de doblar papel

El rect¨¢ngulo dorado y la familiar hoja de papel DIN A4, mencionados la semana pasada, comparten la propiedad de autorreplicarse f¨¢cilmente. Si al rect¨¢ngulo ¨¢ureo le quitamos un cuadrado de lado igual a su lado menor, el rect¨¢ngulo restante es semejante al primero (y, por tanto, tambi¨¦n es ¨¢ureo).

Si tomamos como unidad el lado menor del rect¨¢ngulo inicial y llamamos x a su lado mayor, para que ambos rect¨¢ngulos sean semejantes sus lados han de ser proporcionales, por lo que:

x:1 = 1:(x-1)

x2 ¨C x ¨C 1 = 0

x = 1,618¡­ = ¦µ (el n¨²mero ¨¢ureo)

En el caso de la hoja de papel DIN A4, la autorreplicaci¨®n es a¨²n m¨¢s sencilla: al doblarla por la mitad, obtenemos dos hojas DIN A5 semejantes a la hoja entera. Si de nuevo tomamos como unidad el lado menor de la hoja y llamamos x al lado mayor, ahora tendremos:

x:1 = 1:(x/2)

x?/2 = 1

x = ¡Ì2 = 1,414¡­

La denominaci¨®n DIN A4 proviene del Instituto Alem¨¢n de Normalizaci¨®n: DIN son las siglas del Deutsches Institut f¨¹r Normung, y el 4 indica el n¨²mero de veces que hay que doblar el pliego original, A0, de 841x1189 mm, para obtener el familiar formato de 210x297 mm, que se corresponde aproximadamente con el antiguo folio, del mismo modo que A5 se aproxima a la antigua cuartilla y A6 a la octavilla.

Si en la figura adjunta cambi¨¢ramos adecuadamente la colocaci¨®n de A3, A4 y siguientes, tendr¨ªamos el marco de una cuasiespiral picuda parecida a la conocida espiral dorada: la seudoespiral DIN. ?Qu¨¦ puedes decir de ella?

Y, puestos a doblar, ?cu¨¢ntas veces crees que puedes doblar y redoblar una hoja de papel? Si lo intentas, ver¨¢s que no podr¨¢s doblarla m¨¢s de siete veces consecutivas. El grosor de una hoja de papel normal es de una d¨¦cima de mil¨ªmetro aproximadamente, por lo que tras siete doblamientos tendr¨¢s en la mano un peque?o e impracticable tocho de unos 13 mm de grosor. Pero si pudieras seguir doblando y redoblando indefinidamente, ?cu¨¢ntas veces tendr¨ªas que doblar una hoja de papel para que el tocho resultante llegara a la Luna? ?De qu¨¦ tama?o tendr¨ªa que ser la hoja para que la operaci¨®n fuera posible (en el caso ideal de que el papel no ofreciera ninguna resistencia al doblamiento)?

En cuanto al pent¨¢culo, si a¨²n no has hallado la proporci¨®n entre su ¨¢rea y la del pent¨¢culo invertido de su interior, tienes una segunda oportunidad: ten en cuenta que en un pent¨¢culo hay 10 tri¨¢ngulos is¨®sceles, 5 acut¨¢ngulos (las puntas de la estrella) y 5 obtus¨¢ngulos, y en todos ellos la raz¨®n entre el lado mayor y el menor es el n¨²mero ¨¢ureo (1,618¡­). Y en un pent¨¢gono regular, la diagonal y el lado tambi¨¦n est¨¢n en la proporci¨®n ¨¢urea. ?Cu¨¢l ser¨¢, pues, la raz¨®n del ¨¢rea del pent¨¢culo y la de su antipent¨¢culo interior? Una advertencia: en un famoso microrrelato de Fredric Brown, un aspirante a brujo es atrapado por el diablo por no saber la suficiente geometr¨ªa pentacular, de modo que¡­

Del doblado tipo DIN al map folding

Volviendo al arte de doblar una hoja de papel, una pregunta no menos interesante que la de cu¨¢ntas veces es f¨ªsicamente posible hacerlo, es de cu¨¢ntas maneras distintas podemos doblarla. Si se trata de una hoja en blanco a doblar por la mitad de la forma habitual (es decir, uniendo los bordes m¨¢s cortos), la pregunta es irrelevante; pero si es una hoja impresa con im¨¢genes y/o textos por ambas partes, podemos doblarla de dos maneras, seg¨²n qu¨¦ cara dejemos por fuera, y al doblarla otra vez tenemos de nuevo dos posibilidades, y as¨ª sucesivamente. Es decir, tenemos 2? posibilidades, siendo n el n¨²mero de doblamientos (lo que en el caso del formato DIN da siempre rect¨¢ngulos semejantes al primero).

Pero cuando en el mundo real nos encontramos con un papel doblado varias veces, no suele ser en sucesivos doblamientos demediadores tipo DIN, pues no ser¨ªa pr¨¢ctico a la hora de, por ejemplo, desplegar un mapa. Y entonces la cosa se complica considerablemente.

?De cu¨¢ntas maneras distintas podemos doblar dos veces seguidas una hoja de papel si tambi¨¦n son v¨¢lidos los doblamientos ¡°alargados¡±, es decir, uniendo los lados m¨¢s largos? ?Y tres veces, cuatro¡­?

Y si adem¨¢s contemplamos doblamientos que no sean por la mitad, como los que de hecho encontramos en los mapas, entramos en un complejo y escurridizo campo de la combinatoria que los propios matem¨¢ticos califican de ¡°irritante¡±: el map folding. Pero ese es otro art¨ªculo.

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