Tetris

Mediante un criterio de paridad similar al utilizado en semanas anteriores para abordar el problema del tablero de ajedrez mutilado y sus variantes, podemos demostrar f¨¢cilmente que con los cinco tetromin¨®s libres no se puede formar un rect¨¢ngulo de 4 x 5, tal como nos pregunt¨¢bamos la semana pasada. Efectivamente, si dividimos el rect¨¢ngulo de 4 x 5 en 20 casillas cuadradas de 1 x 1 y las coloreamos alternativamente en blanco y negro, como en un tablero de ajedrez, tendremos, obviamente, 10 casillas blancas y 10...

Mediante un criterio de paridad similar al utilizado en semanas anteriores para abordar el problema del tablero de ajedrez mutilado y sus variantes, podemos demostrar f¨¢cilmente que con los cinco tetromin¨®s libres no se puede formar un rect¨¢ngulo de 4 x 5, tal como nos pregunt¨¢bamos la semana pasada. Efectivamente, si dividimos el rect¨¢ngulo de 4 x 5 en 20 casillas cuadradas de 1 x 1 y las coloreamos alternativamente en blanco y negro, como en un tablero de ajedrez, tendremos, obviamente, 10 casillas blancas y 10 negras; pero si hacemos lo mismo con las piezas del tetromin¨®, vemos que en todas ellas hay 2 casillas blancas y 2 negras menos en la pieza T, que tiene 3 de un color y 1 de otro; por tanto, en total tenemos, en los tetromin¨®s, 9 casillas de un color y 11 de otro, por lo que es imposible componer con ellas un rect¨¢ngulo en el que ha de haber 10 de cada color.

El mismo razonamiento demuestra que es imposible formar un rect¨¢ngulo de 4 x 7 con los tetromin¨®s del Tetris, ya que tambi¨¦n en este caso todas las piezas tienen 2 casillas de cada color menos la T.

Con dos juegos de tetromin¨®s libres, sin embargo, podemos colorear las casillas de ambas T de forma complementaria: una T con 3 casillas blancas y 1 negra, y la otra con 3 casillas negras y 1 blanca, como lo que tendremos 20 de cada color, igual que los rect¨¢ngulos de 5 x 8 y 4 x 10, por lo que, en principio, el recubrimiento es posible (aunque ser¨ªa m¨¢s exacto decir que no es imposible). De hecho, ambas construcciones son posibles, as¨ª que mis sagaces lectoras/es pueden entretenerse en buscarlas sabiendo que su intento no es vano. Y el mismo razonamiento de la T repetida vale para la posibilidad de construir rect¨¢ngulos de 7 x 8 o 4 x 14 con dos juegos de tetromin¨®s del Tetris.

En cuanto a la posibilidad de recubrir el tablero mutilado con 21 tromin¨®s del tipo I, el mismo lector que se?al¨® la condici¨®n necesaria para tal recubrimiento ha a?adido una condici¨®n m¨¢s restrictiva que, esta s¨ª, adem¨¢s de necesaria es suficiente (ver comentario 1 de la semana pasada).

El azar y la habilidad

El videojuego Tetris puede considerarse una versi¨®n din¨¢mica y acumulativa de los problemas anteriores, ya que se trata de encajar los tetromin¨®s en un marco rectangular de manera compacta, sin que queden huecos (o los menos posibles). Y como las piezas van ¡°cayendo¡± de forma aleatoria, aunque la habilidad es determinante, tambi¨¦n interviene el azar y, en casos extremos, un jugador lo podr¨ªa tener muy f¨¢cil o muy dif¨ªcil.

?Cu¨¢l es la secuencia de ca¨ªda de piezas que m¨¢s facilita su colocaci¨®n? ?Cu¨¢l es la que m¨¢s la dificulta?

Si se produjera una lluvia continua de tetromin¨®s todos del tipo S, o todos del tipo Z, ?cu¨¢nto aguantar¨ªa, como m¨¢ximo, el jugador m¨¢s h¨¢bil? ?Cu¨¢l es la probabilidad de que se produzca un final inevitable debido a una lluvia continua de tetromin¨®s iguales?

Otra manera de abordar la misma cuesti¨®n: ?Cu¨¢l ser¨ªa la partida de Tetris m¨¢s corta si el jugador no cometiera ning¨²n fallo y la velocidad de ca¨ªda no fuera en aumento?

Invito a mis sagaces lectoras/es a plantearse estas y otras cuestiones relativas al papel del azar en el desarrollo de una partida de Tetris.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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