La moneda m¨¢s pesada

La demostraci¨®n de que el conjunto de los n¨²meros racionales (Q) es numerable, planteada la semana pasada, es equivalente a la de que lo son todas las parejas de n¨²meros enteros posibles, ya que los n¨²meros racionales son los que se pueden expresar mediante una fracci¨®n, y una fracci¨®n queda determinada por un par de n¨²meros enteros, el numerador y el denominador.

Hay una sola pareja de n¨²meros naturales que suman 2: 1-1; hay dos parejas que suman 3 (si tenemos en cuenta el orden): 1-2...

La demostraci¨®n de que el conjunto de los n¨²meros racionales (Q) es numerable, planteada la semana pasada, es equivalente a la de que lo son todas las parejas de n¨²meros enteros posibles, ya que los n¨²meros racionales son los que se pueden expresar mediante una fracci¨®n, y una fracci¨®n queda determinada por un par de n¨²meros enteros, el numerador y el denominador.

Hay una sola pareja de n¨²meros naturales que suman 2: 1-1; hay dos parejas que suman 3 (si tenemos en cuenta el orden): 1-2 y 2-1; hay tres parejas que suman 4: 1-3, 2-2 y 3-1, etc. Dado cualquier n¨²mero natural n, hay un n¨²mero finito de parejas que suman n, por lo que podemos ir numer¨¢ndolas por orden creciente para todo n. Y cada pareja de n¨²meros naturales se convierte en una fracci¨®n sin m¨¢s que sustituir el guion por una barra, /, que indique que dividimos el primer n¨²mero de la pareja por el segundo. De este modo numerar¨ªamos todos los racionales positivos, y basta repetir el proceso con el signo cambiado para numerar tambi¨¦n los negativos. Obs¨¦rvese que, de este modo, no solo numeramos todos los n¨²meros racionales, sino que cada n¨²mero se numera infinitas veces, ya que 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12¡­ Otra paradoja del infinito: esta infinitud de infinitos no es de orden superior al infinito de los n¨²meros naturales y es de orden inferior al infinito de los n¨²meros irracionales.

El problema de las 12 monedas en los tres vasos parece imposible de resolver; pero con un poco de pensamiento lateral, la soluci¨®n es sencilla

El problema de las 12 monedas en los tres vasos parece imposible de resolver; pero con un poco de pensamiento lateral, la soluci¨®n es sencilla: metemos 3 monedas en el primer vaso, 3 en el segundo y 6 en el tercero, y luego metemos los vasos uno dentro de otro, como se suele hacer para guardarlos cuando hay muchos: el segundo dentro del tercero y el primero dentro del segundo. De este modo, dentro del primer vaso hay 3 monedas, dentro del segundo hay 6 y dentro del tercero hay 12.

Por cierto, la versi¨®n ¡°cl¨¢sica¡± de este acertijo-broma es con 9 monedas en lugar de 12. ?Cu¨¢l es la soluci¨®n en este caso?

Y una variante m¨¢s: distribuir 6 monedas entre tres vasos de manera que en cada uno de ellos haya un n¨²mero impar de monedas.

La falsa moneda

Ya hemos resuelto el problema de las 12 monedas en los tres vasos, y ahora nos dicen que una de las monedas es falsa y pesa un poco m¨¢s que las dem¨¢s. Se trata de averiguar cu¨¢l es la falsa moneda compar¨¢ndolas en una balanza en el menor n¨²mero de pesadas posible.

Y si en vez de 12 mondas tenemos 27, una de las cuales es falsa y pesa un poco m¨¢s que las dem¨¢s, ?cu¨¢ntas pesadas necesitaremos para identificarla? ?Y si hay 81 monedas y una falsa que pesa m¨¢s que las aut¨¦nticas?

Los anteriores acertijos son variantes m¨¢s sencillas del cl¨¢sico problema de las 12 monedas, planteado por primera vez en 1945, y que ha sido objeto de interesantes estudios y generalizaciones. En esta versi¨®n, no sabemos si la moneda falsa pesa m¨¢s o menos que las buenas, lo cual complica bastante la soluci¨®n.

Y en otro orden de cosas, ?qu¨¦ tiene que ver la moneda de la ilustraci¨®n con el contenido de este art¨ªculo?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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