Smullyan, el infinito y algo m¨¢s

Qued¨® pendiente la cuesti¨®n, planteada hace un par de semanas, de demostrar que el conjunto de todos los conjuntos finitos de N (siendo N el conjunto de los n¨²meros naturales, es decir, enteros y positivos) es numerable. La demostraci¨®n m¨¢s clara y sencilla se puede encontrar en el excelente libro de Raymond Smullyan Sat¨¢n, Cantor y el infinito (que no es la primera vez que cito en esta secci¨®n ni ser¨¢ la ¨²ltima):

Hay un solo subconjunto de N cuyo n¨²mero mayor es 1: {1}; hay dos subconjuntos de N cuyo n¨²mero mayor es 2: {1, 2} y {2}; hay cuatro subconjuntos de N cuyo n¨²mero mayor es 3: {1, 2, 3}, {1, 3}, {2, 3} y {3}, etc. En general, para cualquier n¨²mero n hay 2 elevado a n-1 subconjuntos de N cuyo n¨²mero mayor es n. Podemos ir numerando sucesivamente, para cada n, los subconjuntos cuyo n¨²mero mayor es n, y por tanto el conjunto de los subconjuntos finitos de N es numerable.

En funci¨®n de lo anterior, es m¨¢s f¨¢cil abordar un reto planteado por Luca Tanganelli: demostrar que el conjunto de los n¨²meros racionales (Q) es numerable.

En otro orden de cosas, el acertijo de los dos cubos, del que nos hemos ocupado en las semanas anteriores y que nos llev¨® al inagotable tema de los problemas ¡°cocinados¡±, me ha recordado otro cl¨¢sico del acervo popular:

Tenemos tres vasos y 12 monedas, que hemos de distribuirlas entre los vasos de manera que en el segundo haya el doble de monedas que en el primero y en el tercero el doble que en el segundo. Si no se puede, demostrar que es imposible.

Y hablando de problemas cocinados, he aqu¨ª la forma de disponer m¨¢s de 6 cigarrillos de manera que cada uno toque a todos los dem¨¢s:

Queda pendiente la cuesti¨®n, planteada la semana pasada, de demostrar que, este s¨ª, es el m¨¢ximo posible.

El planeta Og

El jocundo demonio de Sat¨¢n, Cantor y el infinito no tiene nada que envidiar al de Descartes ni al de Maxwell en lo que a golpes de efecto y paradojas se refiere. Pero no es el ¨²nico personaje peculiar del fascinante libro de Smullyan, y entre los m¨¢s peculiares hay que mencionar a los habitantes del planeta Og.

Al igual que en el Marte de Edgar Rice Burroughs, en Og hay dos razas, los rojos y los verdes. Los rojos nacidos en el hemisferio norte del planeta mienten siempre, mientras que los verdes nacidos en dicho hemisferio siempre dicen la verdad; y viceversa: los sure?os rojos siempre dicen la verdad y los sure?os verdes mienten siempre.

En una noche oscura, te encuentras con un oguiano cuyo color no puedes distinguir, Solo puedes hacerle una pregunta de las que se contestan con un s¨ª o un no. ?Qu¨¦ pregunta le har¨ªas para averiguar su color? ?Y para averiguar de qu¨¦ hemisferio es oriundo?

M¨¢s oguianos:

Dos oguianos de diferente color hacen las siguientes afirmaciones:

-Mi compa?ero es norte?o -dice uno.

-Ambos somos norte?os -dice el otro.

?Qu¨¦ se puede deducir de estas declaraciones?

Y otro m¨¢s:

Un antrop¨®logo visita el planeta Og y le dice a un nativo:

-Me han dicho que en cierta ocasi¨®n dijiste que en Og no hay rey.

-No es cierto -contesta el oguiano.

-?Alguna vez has dicho que en Og hay un rey?

-S¨ª, lo he dicho.

?Es sincero el oguiano? ?Hay un rey en Og?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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