Los dados de Sicherman

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada de cu¨¢ntas maneras se pueden distribuir los n¨²meros del 1 al 6 en un dado convencional. Si respetamos la norma de que las caras opuestas sumen 7, es f¨¢cil ver que solo hay dos posibilidades, la una imagen especular de la otra. En un caso los n¨²meros 1, 2, 3, cuyas caras coinciden en un v¨¦rtice, ir¨¢n en el sentido de las agujas del reloj, y en sentido contrario en el otro caso. En el popular juego de ¡°la generala¡±, que se juega con cinco dados y un cubilete, cuatro de los d...

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada de cu¨¢ntas maneras se pueden distribuir los n¨²meros del 1 al 6 en un dado convencional. Si respetamos la norma de que las caras opuestas sumen 7, es f¨¢cil ver que solo hay dos posibilidades, la una imagen especular de la otra. En un caso los n¨²meros 1, 2, 3, cuyas caras coinciden en un v¨¦rtice, ir¨¢n en el sentido de las agujas del reloj, y en sentido contrario en el otro caso. En el popular juego de ¡°la generala¡±, que se juega con cinco dados y un cubilete, cuatro de los dados suelen ser de un tipo y uno del otro.

La distribuci¨®n convencional con n¨²meros que suman 7 en las caras opuestas facilita la homologaci¨®n de los dados; pero las caras se podr¨ªan numerar del 1 al 6 de cualquier otra forma sin afectar al comportamiento de los dados. Si empezamos poniendo el 1 en una cara, en la opuesta tenemos cinco posibilidades (los n¨²meros del 2 al 6), y para cada uno de estos cinco casos podemos ocupar otro par de caras opuestas de tres maneras distintas. Y en cada uno de estos 15 casos podemos colocar los dos n¨²meros restantes de dos maneras, sim¨¦tricas espectacularmente; por tanto, podemos distribuir los n¨²meros del 1 al 6, en un dado c¨²bico, de 30 maneras distintas. Nuestro asiduo comentarista Salva Fuster da la siguiente soluci¨®n a las distintas distribuciones en los ¡°dados plat¨®nicos¡±:

Tetraedro: 2 posibilidades.

Cubo: 30 posibilidades (4!+4!/4).

Octaedro: 1680 posibilidades (6!+6!+6!/3).

Para el octaedro, una vez escogido el 1, ¨²nicamente veo 3 casos diferentes para escoger el 2, es decir, en una cara adyacente, en la opuesta, o en cualquiera de las otras 3. Pero cuando est¨¢ en la cara opuesta, hay una simetr¨ªa por giros de 120? que dividen los casos entre 3.

Dados locos

Lanzando a la vez dos dados convencionales, podemos obtener una puntuaci¨®n conjunta comprendida entre 2 y 12; pero, obviamente, las distintas puntuaciones no son equiprobables; solo hay una forma de sacar un 2: con un 1 en cada dado, pero podemos sacar un 7 de seis maneras distintas: 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3. Puesto que hay 36 maneras de emparejar las caras de dos dados (cada cara del primero puede emparejarse con cada cara del segundo: 6 x 6 = 36), la probabilidad de sacar un 2 es 1/36, mientras que la probabilidad de sacar un 7 es 6/36 = 1/6.

Cabe preguntarse si hay otra manera de numerar dos dados de manera que la distribuci¨®n de probabilidades sea la misma que la de dos dados convencionales. Y los dados de Sicherman son la respuesta. Unos dados que parecen haberse vuelto locos: en uno de ellos se repiten el 2 y el 3, y faltan el 5 y el 6; y en el otro, el 2 se ha convertido en un 8.

Pero estos dados estramb¨®ticos, ideados por George Sicherman en los a?os setenta del siglo pasado y dados a conocer por Martin Gardner en su secci¨®n de juegos matem¨¢ticos de Scientific American, tienen la propiedad de que dan lugar a la misma distribuci¨®n de probabilidades que los dados convencionales. As¨ª, solo hay una forma de sacar 2 (1-1) y de sacar 12 (4-8), mientras que hay seis maneras de sacar 7 (1-6. 2-5, 2-5, 3-4, 3-4, 4-3).

?Hay otros ¡°dados locos¡± con la misma distribuci¨®n probabil¨ªstica, o los de Sicherman son ¨²nicos en su especie?

En los dados de Sicherman tambi¨¦n se distribuyen los puntos de manera que las caras opuestas sumen lo mismo (5 en el primero y 9 en el segundo). Puesto que en el segundo dado hay seis n¨²meros distintos, el n¨²mero de configuraciones posibles ser¨¢ el mismo que en el caso de los dados convencionales (30); pero en el primero se repiten el 2 y el 3, por lo que habr¨¢ menos configuraciones posibles. ?De cu¨¢ntas maneras distintas se pueden distribuir los n¨²meros en el primer dado de Sicherman?

Otros¨ª: ?podemos numerar las caras de dos dados c¨²bicos de forma que, al lanzarlos juntos, todas las posibles sumas de puntos sean equiprobables? Hay una soluci¨®n trivial que consiste en que uno de los dados tenga el mismo n¨²mero en todas las caras; pero eso equivaldr¨ªa a lanzar un solo dado.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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