Dados plat¨®nicos

El monito trepador de Lewis Carroll, del que habl¨¢bamos la semana pasada, al trepar por la cuerda es como si tirara de ella hacia abajo, y esta tracci¨®n se ejerce sobre la pesa del otro extremo con la misma fuerza que sobre el propio mono y, por tanto, dada la simetr¨ªa de la situaci¨®n, el mono y la pesa ascender¨¢n a la par hasta llegar a la polea.

El acertijo de los animales que van al r¨ªo, que se ha hecho viral en la red en las ¨²ltimas semanas, juega con nuestra tendencia a poner el piloto autom¨¢tico mental en vez de reflexionar de forma atenta. La mayor¨ªa de la gente piensa que si hay seis elefantes y cada elefante ve a dos monos, hay doce monos; pero si hubiera doce monos, cada elefante los ver¨ªa a los doce. Por otra parte, de los elefantes no se dice que van al r¨ªo, solo que ven a los que van. Y los loros, en puridad, no van: son llevados por los monos. As¨ª que solo podemos asegurar que tres animales van al r¨ªo: el conejo y los dos monos.

El problema de los cinco marineros, el mono y los cocos es un cl¨¢sico muy f¨¢cil de encontrar en la red (incluso tiene una entrada propia en Wikipedia), por lo que omitir¨¦ la soluci¨®n, bastante extensa. Y el del mono que salta sobre el plato de la b¨¢scula a¨²n es objeto de debate entre nuestros lectores (ver comentarios de la semana pasada).

Dados t¨ªpicos y at¨ªpicos

Como he dicho en m¨¢s de una ocasi¨®n, mis sagaces comentaristas son quienes, en buena medida, marcan el rumbo de esta secci¨®n, planteando nuevos acertijos o saltando de un tema a otro con notable agilidad mental. Y en uno de estos saltos se lleg¨® al inagotable tema de los dados, s¨ªmbolo e instrumento por excelencia del azar.

Concretamente, se habl¨® del criterio con el que se numeran las caras de los dados. Como es bien sabido, en los dados c¨²bicos normales los n¨²meros del 1 al 6 se distribuyen de forma que los de caras opuestas sumen 7. Pero, en principio, podr¨ªamos distribuirlos con cualquier otro criterio -o sin criterio alguno- y los dados funcionar¨ªan exactamente igual. ?De cu¨¢ntas maneras distintas podemos distribuir los n¨²meros del 1 al 6 en un dado c¨²bico? Y la distribuci¨®n convencional, en la que las caras opuestas suman 7, ?es ¨²nica?

Con la proliferaci¨®n de los juegos de rol, han aparecido dados tetra¨¦dricos, octa¨¦dricos, dodeca¨¦dricos e icosa¨¦dricos (y algunos m¨¢s, pero de momento nos centraremos en los ¡°dados plat¨®nicos¡±, es decir, los que son poliedros regulares), de modo que podemos hacernos con respecto a cada uno de ellos las mismas preguntas que en el caso de los dados c¨²bicos:

?De cu¨¢ntas maneras se pueden distribuir los n¨²meros en un dado tetra¨¦drico, octa¨¦drico¡­? ?Hay alguna f¨®rmula que relacione el n¨²mero de distribuciones posibles con el n¨²mero de caras del dado? ?Qu¨¦ podemos decir de la secuencia que forman los sucesivos n¨²meros de distribuciones posibles a medida que aumenta el n¨²mero de caras?

Para hacer la secuencia m¨¢s completa, podemos considerar que la tradicional moneda con la que se juega a cara o cruz es un dado de dos caras (y un plat¨®nico podr¨ªa a?adir que la esfera, el poliedro de infinitas caras, es un dado de una sola cara).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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