Loter¨ªa y matem¨¢ticas

La probabilidad de que nuestra madre de la semana pasada tenga otro hijo var¨®n podr¨ªa parecer del 50 %, ya que hay las mismas probabilidades de que nazca un ni?o o una ni?a, y esa probabilidad es independiente del sexo del otro hijo. Y as¨ª ser¨ªa si supi¨¦ramos, por ejemplo, que el hijo mayor de Ana es ni?o: en ese caso, la probabilidad de que el segundo tambi¨¦n fuera ni?o ser¨ªa del 50 %. Pero no sabemos cu¨¢l de los hijos es ni?o, por lo que las posibilidades equiprobales son: ni?o-ni?o, ni?o-ni?a, ni?a...

La probabilidad de que nuestra madre de la semana pasada tenga otro hijo var¨®n podr¨ªa parecer del 50 %, ya que hay las mismas probabilidades de que nazca un ni?o o una ni?a, y esa probabilidad es independiente del sexo del otro hijo. Y as¨ª ser¨ªa si supi¨¦ramos, por ejemplo, que el hijo mayor de Ana es ni?o: en ese caso, la probabilidad de que el segundo tambi¨¦n fuera ni?o ser¨ªa del 50 %. Pero no sabemos cu¨¢l de los hijos es ni?o, por lo que las posibilidades equiprobales son: ni?o-ni?o, ni?o-ni?a, ni?a-ni?o, ni?a-ni?a, de las que en este caso se descarta la ¨²ltima. Por tanto, solo una de cada cuatro parejas con dos hijos tiene dos ni?os, y solo una de cada tres de las que tienen al menos un ni?o, tienen dos. De modo que la probabilidad pedida no es 1/2, sino 1/3.

La situaci¨®n es equivalente a la de lanzar una moneda dos veces. Si sale cara, la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga otra cara es del 50 %; pero si nos dicen que en los dos lanzamientos ha salido al menos una cara, sin especificar en cu¨¢l de los dos, tenemos tres posibilidades equiprobables: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara.

El del hijo de Carlos no parece un acertijo l¨®gico, y sin embargo lo es (Fermi podr¨ªa hab¨¦rselo planteado a sus alumnos, junto con el del n¨²mero de afinadores de pianos de Chicago). Lo m¨¢s probable es que el nombre sin ninguna letra de ¡°Carlos¡± tenga un m¨¢ximo de dos vocales, pues cuantas m¨¢s letras, m¨¢s dif¨ªcil que ninguna sea una de las seis prohibidas. Por tanto, seguramente ser¨¢, en lo que a las vocales se refiere, de una de estas formas: e-e, i-i, u-u, e-i, e-u, i-e, u-e, i-u, u-i. Algunas posibilidades, como u-u, se descartan r¨¢pidamente, y a?adiendo consonantes a las m¨¢s viables no es dif¨ªcil encontrar la soluci¨®n: Quint¨ªn. Hay otro nombre que cumple la condici¨®n, aunque es muy poco conocido fuera de Catalunya: Med¨ªn (Medir en catal¨¢n), cuya fiesta se celebra el 3 de marzo en el barcelon¨¦s barrio de Gracia. Y nuestro comentarista habitual Bixen Etxebeste (cuyo propio nombre tambi¨¦n valdr¨ªa si no fuera exclusivamente vasco) ha descubierto otro que yo desconoc¨ªa, Hemming, v¨¢lido a pesar de lo ex¨®tico, pues est¨¢ incluido en el santoral: San Hemming de Abo, obispo sueco del siglo XIV.

Puesto que el gen del albinismo es recesivo, ambos progenitores han de ser portadores para tener un hijo albino, y este ha de recibir el gen de ambos, por lo que solo 1 de cada 4 hijos de parejas de portadores ser¨¢ albino. Y como hay 1 albino por cada 10.000 personas, significa que en 1 de cada 2.500 parejas ambos miembros son portadores. Por lo tanto, 1 de cada 50 personas (50 x 50 = 2.500) es portadora del gen. (Este razonamiento no es absolutamente riguroso desde el punto de vista gen¨¦tico, pero s¨ª fermianamente aproximado).

El trabalenguas de las edades solo nos dice que, llamando x a la diferencia de edad entre las dos primas, una tiene 4x a?os y la otra 5x. Pero x = 3 es la ¨²nica posibilidad de que una sea una ni?a y la otra una adolescente, como indica el enunciado, por lo que tienen 12 y 15 a?os respectivamente.

El ¨²ltimo acertijo de la semana pasada es el t¨ªpico ¡°enga?abobos¡± en el que solemos caer si contestamos apresuradamente. Si hay tres hijas y cada una tiene un hermano, son cuatro en total, ya que el hermano lo es de todas.

Las tablas de Hiltner

Otro comentarista habitual, Ignacio Alonso, y en relaci¨®n con el inagotable tema de las paradojas probabil¨ªsticas, ha compartido este enlace relativo a las estrategias propuestas por el matem¨¢tico Edvin Hiltner para aumentar las probabilidades de ganar al jugar a la loter¨ªa:

En estas fechas de locura loter¨ªstica, someto estas estrategias a la cr¨ªtica de mis sagaces lectoras/es.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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