Indultos problem¨¢ticos

De nuestros tres presos de la semana pasada, Carlos es el ¨²nico que tiene motivos para alegrarse, y mucho. La suposici¨®n de Alberto de que, tras saber que Bernardo no ser¨¢ indultado, su probabilidad ha subido de 1/3 a 1/2 es err¨®nea. Ya sab¨ªa que uno de los otros dos no iba a ser indultado, y averiguar su nombre no cambia nada. Sin embargo, puesto que la probabilidad de que el indultado estuviera entre Bernardo y Carlos era 2/3, al descartar a Bernardo esa probabilidad se concentra en Carlos, que ve as¨ª duplicada su probabilidad de indulto.

La estrategia ¨®ptima en el caso de los 100 prisioneros y los 100 cajones es la siguiente:

Cada prisionero abre, en primer lugar, el caj¨®n cuyo n¨²mero coincide con el de su uniforme. Si en su interior est¨¢ la tarjeta con su n¨²mero, ya ha superado la prueba; si, como es lo m¨¢s probable, hay otro n¨²mero, a continuaci¨®n abre el caj¨®n correspondiente a ese n¨²mero, y as¨ª sucesivamente hasta encontrar su n¨²mero o agotar su cupo de 50 cajones. En un excelente art¨ªculo de Clara Grima titulado El dilema de los 100 prisioneros, las/os lectoras/es que deseen profundizar en este interesante problema encontrar¨¢n un desarrollo minucioso ilustrado con grafos.

Puesto que la probabilidad de ¨¦xito, cuando los prisioneros no siguen estrategia alguna, disminuye exponencialmente al aumentar su n¨²mero, se podr¨ªa pensar que si dicho n¨²mero pasara, pongamos por caso, de 100 a 1000, su probabilidad de ¨¦xito disminuir¨ªa considerablemente por m¨¢s que aplicaran la estrategia ¨®ptima; pero, sorprendentemente, no es as¨ª: por mucho que aumente el n¨²mero de prisioneros y cajones, la probabilidad de conseguir el indulto siempre se mantiene ligeramente por encima del 30%.

El ahorcamiento inesperado

Otros dos cl¨¢sicos que no se puede dejar de mencionar al hablar de problemas de presos e indultos, son el de los sombreros blancos y negros y el del ahorcamiento inesperado. Aunque es probable que mis sagaces lectoras/es ya los conozcan, no est¨¢ de m¨¢s recordarlos:

Un rey decide indultar a uno de entre tres prisioneros. Los manda llamar y les dice: ¡°En este cofre hay tres sombreros blancos y dos negros. Ahora os pondr¨¦is de cara a la pared y har¨¦ que os pongan un sombrero a cada uno, de manera que cada cual podr¨¢ ver los sombreros de los otros dos, pero no el propio. Quien deduzca de qu¨¦ color es su sombrero, quedar¨¢ libre¡±.

Les ponen los tres sombreros blancos y acto seguido los tres prisioneros se miran en silencio. Uno de ellos mueve la cabeza desconcertado, otro se encoge de hombros y el tercero anuncia: ¡°Mi sombrero es blanco¡±. ?C¨®mo lo ha deducido?

La paradoja (?o es una falacia?) del ahorcamiento inesperado, que, por cierto, da t¨ªtulo a un libro del maestro Martin Gardner, es la siguiente:

Un juez condena a un astuto criminal a morir en la horca y le dice: ¡°Ser¨¢s ahorcado un d¨ªa de la semana que viene, pero no sabr¨¢s de antemano la fecha de tu ejecuci¨®n¡±.

¡°Eso significa que no puedo ser ahorcado el domingo, pues, al ser el ¨²ltimo d¨ªa de la semana, el s¨¢bado lo sabr¨ªa -argumenta el condenado-. Tampoco puedo ser ahorcado el s¨¢bado, pues, al quedar descartado el domingo, el viernes sabr¨ªa que iba a ser ejecutado al d¨ªa siguiente. Y, prosiguiendo con este razonamiento, todos los d¨ªas quedan descartados uno tras otro, por lo que no ser¨¦ ahorcado¡±.

?Es correcto su razonamiento? Si no lo es, ?d¨®nde est¨¢ el fallo?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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