N¨²meros triangulares y cuadrados

Hay una demostraci¨®n sencilla e ingeniosa de la divergencia de la serie arm¨®nica (de la que habl¨¢bamos la semana pasada en relaci¨®n con la pila de libros en voladizo), es decir, de que la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5¡­ crece indefinidamente a medida que aumentamos el n¨²mero de sumandos. El crecimiento es muy lento (hacen falta septillones de sumandos para llegar a 100), pero indefinido.

Efectivamente:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8¡­ es obviamente mayor que...

Hay una demostraci¨®n sencilla e ingeniosa de la divergencia de la serie arm¨®nica (de la que habl¨¢bamos la semana pasada en relaci¨®n con la pila de libros en voladizo), es decir, de que la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5¡­ crece indefinidamente a medida que aumentamos el n¨²mero de sumandos. El crecimiento es muy lento (hacen falta septillones de sumandos para llegar a 100), pero indefinido.

Efectivamente:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8¡­ es obviamente mayor que

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8¡­ = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2¡­

Y puesto que la segunda serie crece indefinidamente, la primera, cuyos t¨¦rminos correspondientes son todos mayores o iguales, tambi¨¦n. Esta demostraci¨®n se debe al gran matem¨¢tico, f¨ªsico y astr¨®nomo medieval Nicol¨¢s de Oresme, que se anticip¨® en dos siglos a Cop¨¦rnico al afirmar que es la Tierra la que se mueve, y no el Sol y las estrellas. Lo hizo con la suficiente discreci¨®n como para librarse de la hoguera, y por eso el m¨¦rito se lo llevaron Cop¨¦rnico y Galileo.

En cuanto al cent¨¦simo n¨²mero triangular, o lo que es lo mismo, la suma de los 100 primeros n¨²meros naturales, el peque?o Gauss la hall¨® en pocos segundos al darse cuenta de que 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97¡­ = 101, por lo que dicha suma es la de 50 parejas de n¨²meros que suman 101, o sea 50 x 101 = 5050.

Los n¨²meros triangulares se denominan as¨ª porque pueden representarse como conjuntos de puntos dispuestos de manera que configuren un tri¨¢ngulo equil¨¢tero, en el que los puntos de cada lado indican el orden en la secuencia de los triangulares (en la que se incluye el 1 como primer t¨¦rmino). Los pitag¨®ricos denominaban tetraktys a la representaci¨®n del 10 como tri¨¢ngulo equil¨¢tero de puntos; una configuraci¨®n que nos resulta muy familiar, pues es equivalente a la consabida disposici¨®n de los bolos en el bowling.

Obs¨¦rvese que 1 + 3 = 4 = 2?, 3 + 6 = 9 = 3?, 6 + 10 = 16 = 4?¡­ ?Ser¨¢ siempre un cuadrado perfecto la suma de dos n¨²meros triangulares consecutivos?

N¨²meros cuadrados

Pero ?por qu¨¦ a la potencia 2 de un n¨²mero la denominamos el cuadrado de dicho n¨²mero? Pues por la misma raz¨®n que llamamos triangulares a los n¨²meros que acabamos de ver: porque los cuadrados perfectos o n¨²meros cuadrados se pueden representar como conjuntos de puntos dispuestos de manera que configuren un cuadrado. Como el 1 es un cuadrado perfecto, puesto que 1? = 1, en este caso su inclusi¨®n como primer t¨¦rmino de la secuencia va de soi, como dicen los franceses.

Los n¨²meros cuadrados son, por tanto, 1, 4, 9, 16, 25, 36¡­

Evidentemente, el en¨¦simo n¨²mero cuadrado es n?, y n? es igual a la suma de los n primeros n¨²meros impares:

2? = 1 + 3

3? = 1 + 3 + 5

4? = 1 + 3 + 5 + 7

5? = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

?Por qu¨¦ es as¨ª para cualquier n¨²mero cuadrado?

Un cuadrado perfecto puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 y 9, pero no en 2, 3, 7 u 8. Esto se comprueba f¨¢cilmente sin m¨¢s que elevar al cuadrado los diez d¨ªgitos, ya que el cuadrado de un n¨²mero termina igual que el cuadrado de su ¨²ltima cifra.

Otra propiedad de los cuadrados perfectos es que siempre tienen un n¨²mero impar de divisores. ?Por qu¨¦?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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