Series, secuencias y n¨²meros triangulares

Con respeto al acertijo de la polilla voraz de la semana pasada, si los cinco tomos de la enciclopedia est¨¢n ordenados de izquierda a derecha, como es habitual, la polilla solo perfora la p¨¢gina 1 del primer tomo y la p¨¢gina 300 del quinto, m¨¢s las 3 x 300 = 900 p¨¢ginas de los tres tomos intermedios: en total, 902.

Por lo que respecta al libro de misterio, no era muy apasionante, pues me qued¨¦ en la p¨¢gina 19: 9 + 1 = 10, que es el qu¨ªntuplo de 2, que es lo que suman las cifras de la p¨¢gina siguiente, la 20. Aunque a lo mejor me qued¨¦ en la p¨¢gina 109. O en la 1009¡­

Nuestro tip¨®grafo de la semana pasada no pudo usar exactamente 3000 caracteres para foliar (numerar) las p¨¢ginas de un libro. Para las p¨¢ginas de la 1 a la 9 se necesitan 9 caracteres; de la 10 a la 99, 90 x 2 = 180; de la 100 a la 999, 900 x 3 = 2700; 2700 + 180 + 9 = 2889. Con los 111 que quedan para llegar a 3000 caracteres no es posible foliar un n¨²mero entero de p¨¢ginas a partir de la 1000, pues se necesitan 4 caracteres para cada p¨¢gina y 111 no es divisible por 4.

Supongamos que nuestro ni?o apilador de la semana pasada pone dos libros de 40 cent¨ªmetros de altura uno encima del otro. Es evidente que el de arriba podr¨¢ sobresalir un m¨¢ximo de 20 cm (en un deslizamiento recto en la direcci¨®n de la altura, sin desplazamiento lateral), pues en ese momento su centro de gravedad quedar¨¢ justo encima del borde del libro de abajo. El centro de gravedad de esta pareja de libros estar¨¢ en el centro geom¨¦trico de su zona de contacto, por lo que, si los apoyamos sobre un tercer libro, el del medio solo podr¨¢ sobresalir 10 cm del borde del de abajo. Y si apilamos estos tres sobre un cuarto libro, el tercero solo podr¨¢ sobresalir 6,66 cm, pues, si tomamos como unidad la altura del libro, los ¡°voladizos¡± m¨¢ximos son, respectivamente, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12¡­ Los voladizos decrecen tan deprisa que pronto son del orden de los mil¨ªmetros, por lo que parecer¨ªa que el tomo superior no puede alejarse mucho de la vertical de la base; sin embargo, la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8¡­ crece muy lentamente, pero crece sin cesar (es una serie divergente, seg¨²n la terminolog¨ªa matem¨¢tica), por lo que, en teor¨ªa, el tomo superior de la pila puede alejarse tanto como queramos.

El n¨²mero de libros que se podr¨ªan escribir es inconcebiblemente grande, pero finito, ya que se tratar¨ªa de combinar de todas las formas posibles un n¨²mero finito de caracteres. Incluso se puede calcular el n¨²mero de libros escribibles, como hizo Kurd Lasswitz en su ya cl¨¢sico relato La biblioteca universal.

Series divergentes

Como acabamos de ver, la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10¡­ es divergente, es decir, a medida que a?adimos sumandos crece sin cesar. ?Se puede demostrar que esto es as¨ª de una forma sencilla e ingeniosa?

En esta serie, cada t¨¦rmino es la mitad del correspondiente t¨¦rmino de la famosa serie arm¨®nica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5¡­, denominada as¨ª porque la longitud de onda de los arm¨®nicos de una cuerda que vibra es proporcional a estas fracciones sencillas.

Y los t¨¦rminos de la serie arm¨®nica, a su vez, son los inversos de los n¨²meros naturales: 1, 2, 3, 4, 5¡­, cuya serie es obviamente divergente, ya que la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5¡­ crece cada vez m¨¢s deprisa con cada nuevo n¨²mero a?adido. Esta serie parece trivial y sin mayor inter¨¦s, pero la secuencia de sus sumas parciales (un sumando, dos sumandos, tres sumandos¡­) da lugar a los n¨²meros triangulares: 1, 3, 6, 10, 15¡­ ?Por qu¨¦ se denominan as¨ª? ?Y c¨®mo hallar¨ªas el t¨¦rmino cent¨¦simo de esta secuencia sin efectuar una suma largu¨ªsima? Se cuenta que Gauss lo hizo a los diez a?os.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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