El ap¨®stol de los n¨²meros

Hay una forma simple y elegante de demostrar que, como vimos la semana pasada, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­ tiende a 2, que consiste sencillamente en multiplicarla por 2:

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­

2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­

2S = 2 + S

y por lo tanto S = 2.

Algo menos sencilla, pero asequible sin necesidad de conocimientos matem¨¢ticos, es la demostraci¨®n de que la serie arm¨®nica es divergente, o sea, que crece indefinidamente. Si agrupamos sus t¨¦rminos de este modo:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ¡­

vemos que todos los par¨¦ntesis son mayores que 1/2, y puesto que la serie

1 + 1/2 + 1/2 + 1/2¡­

crece indefinidamente, tambi¨¦n lo har¨¢ la serie arm¨®nica. Esta elegante demostraci¨®n fue aportada en el siglo XIV por el gran Nicol¨¢s de Oresme, uno de los precursores de la ciencia moderna.

Tom Mike Apostol

Y hablando de grandes, el a?o pasado falleci¨® un gran matem¨¢tico estadounidense de origen griego que hizo honor a su nombre, puesto que un ap¨®stol es un propagador de ideas, y Tom Apostol, cuyo An¨¢lisis matem¨¢tico (entre otros muchos t¨ªtulos) es ya un cl¨¢sico de obligada consulta, desarroll¨® una labor fundamental en el campo de la pedagog¨ªa, sobre todo en relaci¨®n con la teor¨ªa de n¨²meros.

Casualmente (o tal vez no), nuestro ¡°usuario destacado¡± Francisco Montesinos mencionaba la semana pasada (ver secci¨®n de comentarios) un problema ¡°apost¨®lico¡± sacado de la Introducci¨®n a la teor¨ªa anal¨ªtica de n¨²meros, que propongo a nuestras/os sagaces lectoras/es como peque?o homenaje a este gran maestro de matem¨¢ticos recientemente fallecido. Se trata de demostrar que la suma de los n primeros t¨¦rminos de la serie arm¨®nica, o sea

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5¡­ + 1/n

no es un n¨²mero entero para ning¨²n valor de n. Una vez m¨¢s, se trata de encontrar una demostraci¨®n sencilla e ingeniosa que no requiera grandes conocimientos matem¨¢ticos. Y tambi¨¦n ser¨¢ bien recibida cualquier variante de la serie arm¨®nica o cuesti¨®n relacionada con ella.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.