El mosaico infinito

Ve¨ªamos la semana pasada que el 300 es un n¨²mero ¡°abundante¡±, y que, por la lista de los n¨²meros abundantes que hay entre los 100 primeros, parecer¨ªa que todos son pares; pero no es as¨ª: hay infinitos n¨²meros abundantes impares, aunque si los buscamos recorriendo uno a uno la lista de los naturales tardaremos bastante en encontrar el primero y menor de ellos, que es el 945. Para comprobar la infinitud de los n¨²meros abundantes, tanto pares como impares, basta ver que todos los m¨²ltiplos de un n¨²mero abundante son, a su ...

Ve¨ªamos la semana pasada que el 300 es un n¨²mero ¡°abundante¡±, y que, por la lista de los n¨²meros abundantes que hay entre los 100 primeros, parecer¨ªa que todos son pares; pero no es as¨ª: hay infinitos n¨²meros abundantes impares, aunque si los buscamos recorriendo uno a uno la lista de los naturales tardaremos bastante en encontrar el primero y menor de ellos, que es el 945. Para comprobar la infinitud de los n¨²meros abundantes, tanto pares como impares, basta ver que todos los m¨²ltiplos de un n¨²mero abundante son, a su vez, abundantes (?por qu¨¦?).

Adem¨¢s de abundante, el n¨²mero 300 es la suma de diez primos consecutivos:

300 = 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47

Tambi¨¦n es un n¨²mero poligonal: concretamente, 300 es el 24? n¨²mero triangular.

Teselados irregulares

Habl¨¢bamos la semana pasada de teselados regulares y semirregulares, y puesto que en el segundo caso podemos combinar todos los pol¨ªgonos regulares que queramos, de cualquier tama?o y en cualquier proporci¨®n, parecer¨ªa que las posibilidades son muchas, por no decir ilimitadas; pero no es as¨ª si el patr¨®n es regular, es decir, el mismo en cada v¨¦rtice de la configuraci¨®n. De hecho, solo hay 8 teselados semirregulares, que se identifican con esta notaci¨®n:

3.3.3.3.6, 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, 3.4.6.4, 3.6.3.6, 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8

?Qu¨¦ significan estos n¨²meros?

Pero los numerosos mosaicos geom¨¦tricos que encontramos en todas las ¨¦pocas y en todas las culturas no se ci?en a los pol¨ªgonos regulares. Veamos algunos de los formados por un solo tipo de teselas, todas iguales.

Las teselas m¨¢s abundantes, junto con las cuadradas, son las rectangulares, que vemos en todo tipo de embaldosados y construcciones con ladrillos. Y es evidente que cualquier paralelogramo tambi¨¦n puede teselar el plano, pues no tenemos m¨¢s que prolongar los lados de un paralelogramo seminal y trazar las oportunas paralelas a los mismos, equidistantes entre s¨ª, para formar una malla homog¨¦nea.

Y puesto que con todo tri¨¢ngulo se puede formar un paralelogramo ados¨¢ndole otro tri¨¢ngulo igual, cualquier tri¨¢ngulo puede teselar el plano.

Menos evidente es que con cualquier cuadril¨¢tero, convexo o c¨®ncavo, tambi¨¦n se puede teselar el plano. ?C¨®mo se demuestra?

Con algunos hex¨¢gonos irregulares se puede teselar el plano, pero no con todos. ?Con cu¨¢les es posible?

La prohibici¨®n isl¨¢mica de reproducir figuras humanas o de otros animales favoreci¨® el desarrollo de una amplia iconograf¨ªa basada en las figuras geom¨¦tricas y los patrones repetitivos, como se puede observar en grandes monumentos hist¨®ricos como la Alhambra (cuyos mosaicos y motivos ornamentales fueron estudiados en profundidad por el grabador neerland¨¦s M. C. Escher). En los mosaicos ¨¢rabes encontramos figuras habituales en otras culturas, como las estrellas (de 5, 8 o 12 puntas, entre otras) o los rombos, y otras muy caracter¨ªsticas, como un peculiar pent¨¢gono con los cinco lados iguales, con dos ¨¢ngulos rectos, dos de 108? y uno de 144?, que da lugar al denominado mosaico de El Cairo, pues se ve con frecuencia en las calles de la capital egipcia. Se suele redondear, y as¨ª lo he hecho, el valor de los ¨¢ngulos de 108? y 144?, ?puedes hallar su valor exacto?

El del mosaico de El Cairo es uno de los 15 pent¨¢gonos irregulares con los que se puede teselar el plano. No se ha demostrado (que yo sepa) que no haya ninguno m¨¢s, por lo que invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar un 16? tipo de pent¨¢gono teselador, o a demostrar que no existe.

En cuanto al t¨ªtulo de esta entrega, ?podemos tom¨¢rnoslo en sentido literal? ?Es realmente infinito el n¨²mero de mosaicos posibles?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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