300

Esta es la entrega n¨²mero 300 de El juego de la ciencia, lo cual es un buen pretexto para dedic¨¢rsela a este n¨²mero singular. O, m¨¢s que singular, ¡°abundante¡± o ¡°excesivo¡±, que es como se denominan los n¨²meros que son menores que la suma de sus divisores sin incluir el propio n¨²mero, o lo que es lo mismo, su doble es menor que la suma de todos sus divisores incluido el propio n¨²mero. Los divisores de 300 son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300

Su suma, 868, es mayor que 2 x 300 = 600, luego 300 es abundante, y su ¡°abundancia¡± es 868 ¨C 600 = 268.

Los n¨²meros abundantes son bastante abundantes: entre los 100 primeros n¨²meros naturales hay 22 abundantes:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100

A la vista de esta lista, parecer¨ªa que todos los n¨²meros abundantes son pares. ?Es as¨ª? ?Puedes encontrar un n¨²mero abundante impar que lo desmienta?

Como an¨¦cdota, cabe se?alar que, al margen de las matem¨¢ticas, el n¨²mero 300 es ¡°abundante¡± en otro sentido: los famosos 300 de Le¨®nidas cundieron tanto porque en realidad eran unos 6.000 (300 hopilitas espartanos de pura cepa y varios miles de guerreros m¨¢s).

El 300 tambi¨¦n es uno de esos n¨²meros poligonales de los que nos hemos ocupado en semanas anteriores; pero ?cu¨¢l concretamente?

Y tambi¨¦n es la suma de dos primos gemelos (dos impares consecutivos primos): 300 = 149 + 151, y, m¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa, es la suma de diez primos consecutivos, ?cu¨¢les son?

Por ¨²ltimo, 300 es un n¨²mero de Harshad (¡°gran alegr¨ªa¡± en s¨¢nscrito), lo que significa que es divisible por la suma de sus d¨ªgitos (300 es divisible por 3). Entre los 100 primeros n¨²meros naturales hay 33 n¨²meros de Harshad:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100

Evidentemente, en cualquier base los n¨²meros de una cifra son n¨²meros de Harshad.

Teselado

Ha quedado pendiente un problema de la semana pasada: ?Qu¨¦ ahorro de pegamento supone formar una superficie con teselas hexagonales pegadas por los bordes con respecto a una superficie equivalente formada por cuadrados de la misma ¨¢rea? Siguiendo una norma no escrita de la secci¨®n, no dar¨¦ la soluci¨®n hasta que alg¨²n lector se anime a resolverlo; pero es un buen pretexto para hablar del teselado.

Los teselados m¨¢s conocidos son los regulares, estudiados por Arqu¨ªmedes ya en el siglo III a. C. Como hemos visto en m¨¢s de una ocasi¨®n, solo hay tres pol¨ªgonos regulares que pueden teselar el plano: el tri¨¢ngulo equil¨¢tero, el cuadrado y el hex¨¢gono regular.

Tambi¨¦n son muy frecuentes, en todo tipo de embaldosados y recubrimientos decorativos, los teselados semirregulares, formados por dos o m¨¢s pol¨ªgonos regulares, pero no dispuestos de cualquier manera, sino repitiendo siempre un mismo patr¨®n (en la figura, un teselado semirregular formado por hex¨¢gonos regulares y tri¨¢ngulos equil¨¢teros). Puede parecer que esta f¨®rmula da mucho juego, pero no hay muchos teselados irregulares distintos. ?Cu¨¢ntos son?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter, Instagram o suscribirte aqu¨ª a nuestra newsletter