N¨²meros vampiros

Ve¨ªamos en el cap¨ªtulo anterior que el n¨²mero vanidoso 1.233 es igual al cuadrado de sus dos primeras cifras m¨¢s el cuadrado de las dos ¨²ltimas: 1.233 = 12? + 33?, y nos pregunt¨¢bamos si hay alg¨²n otro. Yo solo conozco uno m¨¢s: 8.833 = 88? + 33?, el mismo que ha hallado nuestro comentarista habitual Salva Fuster. ?Hay alg¨²n otro n¨²mero de cuatro cifras con esta propiedad? ?Hay alg¨²n n¨²mero de seis cifras tal que el cuadrado de las tres primeras m¨¢s el cuadrado de las tres segundas sea igual al n¨²mero en ...

Ve¨ªamos en el cap¨ªtulo anterior que el n¨²mero vanidoso 1.233 es igual al cuadrado de sus dos primeras cifras m¨¢s el cuadrado de las dos ¨²ltimas: 1.233 = 12? + 33?, y nos pregunt¨¢bamos si hay alg¨²n otro. Yo solo conozco uno m¨¢s: 8.833 = 88? + 33?, el mismo que ha hallado nuestro comentarista habitual Salva Fuster. ?Hay alg¨²n otro n¨²mero de cuatro cifras con esta propiedad? ?Hay alg¨²n n¨²mero de seis cifras tal que el cuadrado de las tres primeras m¨¢s el cuadrado de las tres segundas sea igual al n¨²mero en cuesti¨®n?

Y de los n¨²meros vanidosos, que se gustan a s¨ª mismo, podemos pasar a los n¨²meros vampiros, que se niegan a desaparecer y regresan tras su supuesta destrucci¨®n. Por ejemplo, 2.817 = 27 x 81: las cuatro cifras del n¨²mero reaparecen en sus factores. Otro ejemplo: 1.435 = 35 x 41. Obviamente, los n¨²meros vampiros son un subgrupo de los n¨²meros de Friedman, que son aquellos enteros positivos que pueden expresarse utilizando sus propios d¨ªgitos en operaciones sencillas (suma, resta, multiplicaci¨®n, divisi¨®n y potenciaci¨®n).

Y hablando de persistencia vamp¨ªrica y de n¨²meros que se obtienen a partir del producto de otros, ?c¨®mo se genera esta secuencia?: 699, 486, 192, 18, 8

?Hay m¨¢s n¨²meros de cuatro cifras que puedan descomponerse en dos factores de dos cifras de manera que a ambos lados de la igualdad encontremos los mismos d¨ªgitos? ?Hay n¨²meros vampiros de m¨¢s cifras? No valen los casos triviales que se pueden obtener a?adiendo ceros, como 350 x 410 = 143.500.

Y hablando de persistencia vamp¨ªrica y de n¨²meros que se obtienen a partir del producto de otros (pista), ?c¨®mo se genera esta secuencia?:

699, 486, 192, 18, 8

Otra pista: la secuencia nos revela que 699 es un n¨²mero de persistencia 4.

?Ya has deducido en qu¨¦ consiste la persistencia de un n¨²mero? Pues ahora empieza el verdadero desaf¨ªo:

?Cu¨¢l es el menor n¨²mero de persistencia 4, como el 699? ?Y el menor n¨²mero de persistencia 1, 2, 3, 5, 6, 7¡­?

Y para terminar (de momento) con los n¨²meros vanidosos y autorreplicantes, ?qu¨¦ tiene de especial el 90.625?

Duelo a tres

La semana pasada suscit¨® un intenso debate un problema de ¡°duelo a tres¡± similar a otro del que nos ocupamos hace meses, pero m¨¢s escurridizo (ver comentario 17 y siguientes de N¨²meros narcisistas). Como el original est¨¢ en ingl¨¦s, pues procede de la interesante web NMM¡¯s PUZZLE, lo traduzco para conocimiento y solaz de todos:

Alice, Bob y Carol conciertan un duelo triple. Alice no es buena tiradora: solo da en el blanco 1/3 de las veces. Bob es mejor: da en el blanco 2/3 de las veces. Carol es infalible: siempre acierta. Disparan por turnos: primero Alicia, luego Bob, luego Carol, luego de nuevo Alicia y as¨ª hasta que solo quede uno de los tres. ?Cu¨¢l es la mejor opci¨®n de Alice en su primer turno?

Este problema falsamente simple me ha recordado otro similar que encontr¨¦ en un delicioso -a la par que inquietante- libro de Clifford A. Pickover titulado The Mathematics of Oz, mental gymnastics from beyond the Edge, ambientado en el mundo fant¨¢stico credo por L. Frank Baum. El siniestro problema dice as¨ª:

El t¨ªo Henry, la t¨ªa Em y Dorothy meten sus brazos sucesivamente y en este orden en lava hirviendo. Las probabilidades de sobrevivir a la prueba son del 50 %, y gana el primero que sobreviva. ?Cu¨¢les son las probabilidades de ganar de cada uno?

?Demasiado f¨¢cil? Supongamos que el macabro juego no termina con el primer superviviente, sino con el primer muerto. ?Qu¨¦ probabilidades de sobrevivir tiene Dorothy?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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