N¨²meros narcisistas

Hay una manera sencilla e ingeniosa de demostrar que un n¨²mero peri¨®dico puro, como 0,327327327¡­, es igual a una fracci¨®n cuyo numerador es el per¨ªodo y cuyo numerador es un n¨²mero formado por tantos 9 como d¨ªgitos tiene dicho per¨ªodo (ver art¨ªculo anterior). Llamando n al n¨²mero en cuesti¨®n, tenemos:

n = 0,327327327¡­

1000n = 327,327327327¡­

1000n ¨C n = 999n = 327,327327327¡­ ¨C 0,327327327¡­ = 327

n = 327/999

En cuanto a la cuesti¨®n de la partida de ajedrez infinita, hay una forma sencilla (aunque ajedrec¨ªsticamente absurda) de lograrla moviendo solo los caballos (?cu¨¢l es?).

Si alg¨²n lector sigue buscando un n¨²mero que sea igual a la suma de los cuadrados de sus d¨ªgitos, puede dejar de hacerlo: no existe ninguno, salvo los casos triviales del 0 y el 1 (?c¨®mo se demuestra?)

Si alg¨²n lector sigue buscando un n¨²mero que sea igual a la suma de los cuadrados de sus d¨ªgitos, puede dejar de hacerlo: no existe ninguno, salvo los casos triviales del 0 y el 1 (?c¨®mo se demuestra?). Sin embargo, hay cuatro n¨²meros iguales a la suma de los cubos de sus d¨ªgitos: 153, 370, 371 y 407; curiosamente, dos de ellos, 370 y 371, son consecutivos (?por qu¨¦?).

Hay tres n¨²meros que son iguales a la suma de las cuartas potencias de sus d¨ªgitos: 1.634, 8.208 y 9.474.

Hay seis n¨²meros que son iguales a la suma de las quintas potencias de sus d¨ªgitos: 4.150, 4.151, 54.748, 92.727, 93.084 y 194.979.

Solo hay un n¨²mero igual a la suma de las sextas potencias de sus d¨ªgitos: 548.834.

Hay cinco n¨²meros que son iguales a la suma de las s¨¦ptimas potencias de sus d¨ªgitos: 1.741.725, 4.210.818, 9.800.817, 9.926.315 y 14.459.929.

Hay tres n¨²meros que son la suma de las octavas potencias de sus d¨ªgitos: 24.678.050, 24.678.051 y 88.593.477.

Hay cuatro n¨²meros iguales a la suma de las novenas potencias de sus d¨ªgitos: 146.511.208, 472.335.975, 534.494.836 y 912.985.153.

Y, por ¨²ltimo, el mayor de este tipo de n¨²meros que conozco (pero no he investigado a fondo la cuesti¨®n y es muy probable que ya se conozcan algunos mayores) es 4.679.307.774, que es igual a la suma de las d¨¦cimas potencias de sus d¨ªgitos.

Obs¨¦rvese que en todos los casos hay soluciones cuyo n¨²mero de d¨ªgitos es igual al exponente al que hay que elevarlos para que su suma coincida con el n¨²mero inicial, y en varios casos todas las soluciones son de este tipo. ?Podemos sacar alguna conclusi¨®n de esta coincidencia? Lo que s¨ª podemos es darles un nombre acorde con lo mucho que parecen gustarse a s¨ª mismos: n¨²meros narcisistas.

Perfectos y pluscuamperfectos

Un n¨²mero que es igual a la suma de sus d¨ªgitos elevados todos ellos a una misma potencia se denomina ¡°invariante digital perfecto¡± (PDI, seg¨²n sus siglas en ingl¨¦s); y si la potencia es igual al n¨²mero de d¨ªgitos, el n¨²mero se denomina ¡°invariante digital pluscuamperfecto¡± (PPDI), que, es, por tanto, sin¨®nimo de ¡°n¨²mero narcisista¡±.

A la vista de los PDI enumerados anteriormente, que son todos los de orden igual o inferior a 10, parecer¨ªa que la mayor¨ªa de ellos son PPDI; pero no conviene sacar conclusiones apresuradas. No se sabe si hay infinitos PDI o no; sin embargo, se ha demostrado que el n¨²mero de PPDI es finito, y que no puede haber ninguno de m¨¢s de 58 d¨ªgitos. La demostraci¨®n rigurosa no es sencilla; pero mis sagaces lectoras/es pueden intentar establecer un l¨ªmite superior para el tama?o de los PPDI.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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