N¨²meros vanidosos

No es dif¨ªcil demostrar que un n¨²mero narcisista o PPDI (invariante digital pluscuamperfecto) no puede tener m¨¢s de 60 d¨ªgitos (ver comentarios de la semana pasada), pero otra cosa es determinar el mayor de ellos. Nuestro comentarista habitual Juan Jos¨¦ Rodr¨ªguez podr¨ªa haberlo encontrado en el este enlace:

En dicha web (magic-squares) se afirma que:

Largest possible PPDI has 39 digits. It is 115,132,219,018,763992,565,095,597,973,971,522,401. It is equal to the sum of the 39th power of its digits.

Pero no he podido contrastar la informaci¨®n ni hallar la demostraci¨®n de que, efectivamente, ese es el mayor PPDI posible.

La semana pasada vimos todos los n¨²meros PDI y PPDI hasta el orden 10 incluido. He aqu¨ª un PPDI de orden 11:

82.693.916.578 = 8?? + 2?? + 6?? + 9?? + 3?? + 9?? + 1?? + 6?? + 5?? + 7?? + 8??

Y en la misma p¨¢gina encontramos que:

1,180,591,620,717,411,303,424 = 2^70

and the sum of the digits in 2^70 equals 70.

El acento circunflejo ^ significa ¡°elevado a la potencia¡±, ya que el programa no permite escribir exponentes tan grandes. Por su afinidad con los n¨²meros narcisistas, a este enorme n¨²mero (cuya suma de d¨ªgitos es igual a la potencia a la que hay que elevar 2 para obtener dicho n¨²mero) podr¨ªamos calificarlo de vanidoso (luego veremos algunos m¨¢s).

En cuanto a por qu¨¦ 370 y 371 son consecutivos, la respuesta es muy simple: si un n¨²mero narcisista termina en 0, el siguiente tambi¨¦n ser¨¢ narcisista, ya que terminar¨¢ en 1 y 1 elevado a cualquier potencia es 1; por tanto, a?adimos una unidad al n¨²mero en s¨ª y otra a la suma de sus d¨ªgitos, por lo que se mantiene la igualdad.

La manera m¨¢s sencilla de realizar la partida de ajedrez interminable,de la que venimos hablando en las ¨²ltimas semanas, consiste en que ambos jugadores saquen sus dos caballos y vuelvan a meterlos en sus respectivas casillas de salida indefinidamente

Y, para terminar con las cuestiones pendientes, la manera m¨¢s sencilla de realizar esa partida de ajedrez interminable, de la que venimos hablando en las ¨²ltimas semanas, consiste en que ambos jugadores saquen sus dos caballos y vuelvan a meterlos en sus respectivas casillas de salida indefinidamente (siguiendo una pauta basada en la secuencia de Thue). Totalmente absurda como partida de ajedrez, pero compatible con las reglas del juego.

Vagamente narcisistas

Como el que acabamos de ver unos p¨¢rrafos m¨¢s arriba (2 elevado a 70), hay n¨²meros que, sin ser narcisistas, nos los recuerdan por la estrecha relaci¨®n entre potencias y d¨ªgitos. Veamos algunos:

17? = 4.913

4 + 9 + 1 + 3 = 17

?Hay otro n¨²mero igual a la suma de los d¨ªgitos de su cubo? (Sin contar los casos triviales del 0 y el 1).

1.233 = 12? + 33?

?Hay otro n¨²mero igual a la suma del cuadrado de sus dos primeras cifras m¨¢s el cuadrado de las dos ¨²ltimas? (Pista: hay uno de la forma aabb, o sea, con las dos primeras cifras iguales y las dos ¨²ltimas tambi¨¦n).

3.435 = 3? + 4? + 3? +5?

?Hay otro n¨²mero igual a la suma de sus d¨ªgitos elevados a s¨ª mismos? (Hay uno de nueve cifras: 438.579.088 = 4? + 3? + 8? + 5? + 7? + 9? + 0? + 8?+ 8?, pero desconozco si hay alguno m¨¢s).

Invito a mis sagaces lectoras/es a proponer otros tipos de n¨²meros vanidosos.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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