Problemas McGuffin

El popular juego de los cuadraditos visto la semana pasada da lugar a una combinatoria -y por ende a una estrategia- m¨¢s compleja de lo que sugiere su aparente sencillez. En una cuadr¨ªcula de 3x3, el primer jugador puede marcar uno de los lados del cuadradito central o uno de los lados de los cuadraditos perif¨¦ricos que no coinciden con los del central; los 4 primeros son intercambiables entre s¨ª y tambi¨¦n los otros 8, por lo que en realidad el primer jugador solo tiene dos opc...

El popular juego de los cuadraditos visto la semana pasada da lugar a una combinatoria -y por ende a una estrategia- m¨¢s compleja de lo que sugiere su aparente sencillez. En una cuadr¨ªcula de 3x3, el primer jugador puede marcar uno de los lados del cuadradito central o uno de los lados de los cuadraditos perif¨¦ricos que no coinciden con los del central; los 4 primeros son intercambiables entre s¨ª y tambi¨¦n los otros 8, por lo que en realidad el primer jugador solo tiene dos opciones. Si el primer jugador marca uno de los lados perif¨¦ricos, como en la figura, el segundo jugador puede cerrar un cuadradito (el de la esquina superior izquierda), pero tal vez le convenga seguir otra estrategia. Dejo a mis sagaces lectoras/es el an¨¢lisis de la situaci¨®n, menos sencilla de lo que parece en cuanto pasamos a una cuadr¨ªcula de 4x4 o 5x5.

Imaginemos ahora que la cuadr¨ªcula de 3x3 es el esquema de una p¨¢gina de c¨®mic dividida, como es frecuente, en 9 paneles. La distribuci¨®n m¨¢s sencilla es la de una vi?eta por panel, o sea, 9 vi?etas iguales en cada p¨¢gina; pero una vi?eta puede ocupar 2, 3, 4, 6 o los 9 paneles (no 5 ni 7 ni 8, si las vi?etas han de ser rectangulares), por lo que una p¨¢gina se puede distribuir de muchas maneras distintas. Por ejemplo, en la p¨¢gina del c¨®mic Watchmen adjunta sendas vi?etas dobles ocupan respectivamente dos de los paneles superiores y dos de los inferiores, en una de las diferentes combinaciones posibles. ?Cu¨¢ntas exactamente?

El enga?oso MacGuffin

Y hablando de problemas que no son lo que parecen¡­

Los cin¨¦filos saben bien lo que es un MacGuffin: una pista falsa o cuando menos enga?osa, algo que parece importante para el desarrollo de la trama y no lo es. La denominaci¨®n se debe a Alfred Hitchcock, y ¨¦l mismo utiliz¨® ese recurso con profusi¨®n en sus cintas de suspense. Y hay problemas que nos despistan de manera similar: desv¨ªan nuestra atenci¨®n hacia detalles irrelevantes o nos inducen a pensar que son m¨¢s complicados -o m¨¢s sencillos- de lo que son en realidad.

Hace un par de semanas, Manuel Amor¨®s mencion¨® un problema que puede parecerles trivial a quienes est¨¢n familiarizados con los n¨²meros y sus cuadrados o muy dif¨ªcil a quienes no lo est¨¢n, pero que se puede abordar sin m¨¢s herramientas que la tabla de multiplicar y un poco de sentido com¨²n:

En la sucesi¨®n 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111¡­ ?Hay alg¨²n t¨¦rmino que sea un cuadrado perfecto?

Y ya que estamos, veamos unos cuantos MacGuffin l¨®gico-matem¨¢ticos m¨¢s, f¨¢ciles y relajados pero potencialmente enga?osos, como las propias actividades vacacionales de estos d¨ªas:

Tres ni?os se comen tres fresas en tres minutos. ?Cu¨¢ntos ni?os har¨ªan falta para comerse 100 fresas en 100 minutos?

Los lados de un terreno triangular miden 24, 48 y 72 metros respectivamente. ?Cu¨¢l es su superficie?

¡°Nacimos el mismo d¨ªa del mismo a?o y tenemos la misma madre y el mismo padre, pero no somos gemelos ni mellizos¡±, aseguran Pedro y Pablo. ?C¨®mo es posible?

Y no pod¨ªa faltar aqu¨ª un cl¨¢sico muy conocido, pero de obligada menci¨®n en este contexto:

Dos chicos, a 20 kil¨®metros de distancia entre s¨ª, van en bicicleta por la misma carretera rectil¨ªnea el uno al encuentro del otro, y una mosca que est¨¢ en el manillar de una de las bicicletas empieza a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro manillar, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca vuela as¨ª, de manillar a manillar, hasta que los dos chicos se encuentran. Ambos pedalearon a una velocidad constante de 10 km por hora, y la mosca vol¨® a una velocidad constante de 15 km por hora, ?qu¨¦ distancia recorri¨® la mosca en total en sus viajes de ida y vuelta?

Y la metapregunta de rigor: ?Hay alguna incoherencia o imprecisi¨®n en el planteamiento anterior?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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