Polinomios de Ehrhart

El volumen del tetraedro de Reeve, del que nos ocupamos la semana pasada, es 1/3 del ¨¢rea de la base por la altura. La base es un tri¨¢ngulo is¨®sceles rect¨¢ngulo de cateto = 1, por lo que el volumen del tetraedro (en funci¨®n de r) ser¨¢ V = 1/3 x 1/2 x r = r/6.

Para cualquier valor de r, el tetraedro de Reeve tiene el mismo n¨²mero de puntos fronterizos, que son los 4 v¨¦rtices, y ning¨²n punto interior. Por lo tanto, el teorema de Pick no es ampliable al espacio tridimensional, ya que cualquier f¨®rmula que expresara el volumen del tetraedro de Reeve en funci¨®n de dichos puntos dar¨ªa el mismo valor para cualquier r, lo cual es absurdo.

Igual que era tentador trasladar el teorema de Pick al espacio tridimensional, no lo era menos extrapolar las conclusiones de Pick y Reeve a cuatro dimensiones o m¨¢s, y eso es lo que hizo el matem¨¢tico franc¨¦s Eug¨¨ne Ehrhart en 1960 con los polinomios que llevan su nombre, que relacionan el volumen de un politopo (ampliaci¨®n del concepto de poliedro a cualquier dimensi¨®n) con los puntos (v¨¦rtices de la correspondiente ret¨ªcula n-dimensional) que contiene. Los polinomios de Ehrhart se pueden aplicar al abordaje de problemas muy diversos, como el de la determinaci¨®n del n¨²mero de cuadrados m¨¢gicos de un orden cualquiera o el del recuento de monedas.

Supongamos que tenemos monedas de valores 1, 2 y 5 unidades monetarias, ?de cuantas maneras distintas podemos combinarlas para obtener un total de 10n unidades (siendo n un n¨²mero natural)? Dicho de otro modo, ?cu¨¢ntas soluciones tiene la ecuaci¨®n diof¨¢ntica x + 2y + 5z = 10n para cada valor de n? (De momento lo propongo sin m¨¢s a la consideraci¨®n de mis sagaces lectoras/es, con la intenci¨®n de dedicarle al asunto una futura entrega).

En cuanto a la serpiente de Winkler, he aqu¨ª la soluci¨®n dada por el propio autor:

Para n par, una cuadr¨ªcula de nxn se cubre f¨¢cilmente con domin¨®s (rect¨¢ngulos que cubren dos casillas ortogonalmente adyacentes). En tal caso, Eva (que juega en segundo lugar) tiene una sencilla estrategia ganadora: marcar la otra mitad de los domin¨®s marcados por Ad¨¢n. Por tanto, no hay un primer movimiento bueno para Ad¨¢n.

La situaci¨®n cambia cuando n es impar. Al haber un n¨²mero impar de casillas, no se puede cubrir la ret¨ªcula con domin¨®s, siempre sobrar¨¢ una casilla. Si Ad¨¢n empieza marcando una casilla sobrante, puede adoptar la estrategia del domin¨® seguida por Eva cuando n es par.

Pero n¨®tese que si coloreamos las casillas con colores alternos (como en un tablero de ajedrez) en una ret¨ªcula de nxn casillas con n impar, habr¨¢ una m¨¢s de un color que del otro, por lo que la casilla sobrante ser¨¢ de ese color mayoritario. Para ganar, Ad¨¢n solo tiene que empezar marcando una de esas casillas del color mayoritario.

Cuadraditos

No se puede hablar de cuadr¨ªculas y juegos de estrategia sin mencionar uno de los m¨¢s sencillos (en apariencia) y populares, conocido como ¡°el cerrado¡± o ¡°los cuadritos¡±. Se acota en una hoja de papel cuadriculado una cuadr¨ªcula de 10x10 o mayor (si es menor el juego dura muy poco) y los jugadores, por turno, repasan con su l¨¢piz un lado de uno de los cuadraditos de la cuadr¨ªcula. Cuando un jugador cierra un cuadradito, lo marca con su sigo distintivo (un 1, una cruz, una letra¡­) y juega otra vez. Gana el jugador que cierra m¨¢s cuadraditos.

En el caso trivial de una cuadr¨ªcula de 2x2, es evidente que pierde el que juega en primer lugar, pues el segundo cierra los 4 cuadraditos de una tacada. ?Y en la cuadr¨ªcula de 3x3? ?Y en la de 4x4? ?Y en la de nxn?

Hay dos variantes del juego: en una de ellas es obligatorio cerrar un cuadradito siempre que se pueda y en la otra no.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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