Axiomas naturales para las matem¨¢ticas y el problema del continuo

La teor¨ªa de conjuntos, formalizada en la llamada teor¨ªa ZFC, proporciona una base s¨®lida al edificio de las matem¨¢ticas. Esto significa que, a partir de una peque?a colecci¨®n de enunciados que se dan como ciertos ¡ªlos axiomas de ZFC¡ª, es posible deducir la mayor¨ªa de los teoremas que dan forma a las matem¨¢ticas modernas. Sin embargo, hay cuestiones fundamentales, relacionadas con conjuntos infinitos, que esta teor¨ªa no resuelve.

Una de estas cuestiones es el problema del continuo, que pregunta ¡°?exactamente cu¨¢ntos n¨²meros reales existen?¡±. Sabemos que hay diferentes tama?os de infinito, partiendo del m¨¢s peque?o, alef_0 (que corresponde al tama?o de los n¨²meros naturales), cada uno mayor que el anterior: alef_1, alef_2¡­ Pero, ?cu¨¢l de estos valores es el tama?o del conjunto de los n¨²meros reales? Pues bien, sabemos que si la teor¨ªa ZFC es consistente (es decir, si no es posible demostrar ninguna contradicci¨®n trabajando en ZFC), entonces tambi¨¦n lo es ZFC junto con la afirmaci¨®n ¡°Hay exactamente alef_1 reales¡±, la teor¨ªa ZFC junto con ¡°Hay exactamente alef_2¡å reales, y lo mismo para muchos otros alefs. As¨ª pues, dado que todas estas respuestas al problema del continuo son consistentes, ?podr¨ªa ser que esta pregunta no tenga respuesta?

La dificultad con este punto de vista es que el problema del continuo es una pregunta, acerca de un cierto objecto bien determinado ¡ªel universo de los conjuntos¡ª, que tiene perfecto sentido y, por tanto, deber¨ªa tener una ¨²nica respuesta. El hecho de que ZFC¡ªque proporciona una descripci¨®n parcial del universo conjunt¨ªstico¡ª no d¨¦ la respuesta solo significa que debemos encontrar otros axiomas naturales que s¨ª lo hagan. Ahora bien, ?qu¨¦ significa que un axioma sea natural?

Para empezar, idealmente un axioma deber¨ªa ser cierto y, adem¨¢s, ¨²til, es decir, deber¨ªa permitir demostrar cosas interesantes que no se podr¨ªan probar en su ausencia. Sin embargo, no es f¨¢cil encontrar hechos obviamente ciertos acerca de los conjuntos, por lo que para buscar nuevos axiomas generalmente nos concentramos en su utilidad, entendida ¨¦sta en sentido muy amplio. Normalmente es necesario usar m¨¢s de un axioma para demostrar algo interesante, por lo que, de hecho, buscamos conjuntos de axiomas ¡ªes decir, teor¨ªas¡ª ¨²tiles. Es en este contexto que hablamos de axiomas, o teor¨ªas, naturales.

La utilidad de una teor¨ªa depende de los objetivos que queremos que satisfaga

La utilidad de una teor¨ªa depende de los objetivos que queremos que satisfaga. Por poner un ejemplo, podemos querer que nuestra teor¨ªa ofrezca una descripci¨®n lo m¨¢s completa posible de un cierto fragmento del universo conjunt¨ªstico, es decir, que d¨¦ tantas respuestas como sea posible acerca de esa regi¨®n.

En teor¨ªa de conjuntos, el m¨¦todo de forcing presenta el principal obst¨¢culo para conseguir esto, ya que usando esta t¨¦cnica ¡ªque ampl¨ªa el universo matem¨¢tico en el que nos movemos¡ª podemos demostrar que la teor¨ªa ZFC (o una extensi¨®n suya) no permite decidir la verdad de ciertos enunciados. As¨ª pues, si queremos lograr una descripci¨®n lo m¨¢s completa posible de una cierta regi¨®n del universo conjunt¨ªstico, tenderemos a buscar axiomas que neutralicen los efectos del m¨¦todo de forcing.

Otro ejemplo de criterio de naturalidad es la compatibilidad con una cierta colecci¨®n de enunciados, todos ellos no demostrables en ZFC, llamados axiomas de cardinales grandes.

Un tercer criterio de naturalidad es el de maximalidad respecto a extensiones de forcing. Esta idea se traduce, b¨¢sicamente, en que cualquier enunciado, con una forma razonable, que se satisfaga en alguna extensi¨®n de forcing del universo es de hecho verdad en el universo mismo.

Se han propuesto varios axiomas para extender la teor¨ªa ZFC, entre ellos, el axioma (*), introducido por Hugh Woodin en los a?os 1990. ?ste axioma satisface propiedades de completitud y maximalidad respecto al forcing, lo que lo hace muy atractivo. Adem¨¢s, (*) implica que el tama?o de los n¨²meros reales es alef_2, es decir, que hay otro tipo de infinito (alef_1) entre el de los n¨²meros naturales y los n¨²meros reales. Sin embargo, para considerar a (*) como un axioma realmente natural, deber¨ªa ser compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes.

Otro axioma propuesto es el Martin¡¯s Maximum^{++}, introducido en los a?os 1980 por Matthew Foreman, Menachem Magidor y Saharon Shelah. ?ste tambi¨¦n es un axioma de maximalidad y, adem¨¢s, es compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes.

En 2018, Ralf Schindler y el autor de este art¨ªculo demostramos que el axioma Martin¡¯s Maximum^{++} implica (*). Esto significa, en particular, que (*) es compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes. Por lo tanto, podemos afirmar que (*) es un axioma verdaderamente natural y, en consecuencia, proporciona evidencia de que la respuesta correcta al problema del continuo es alef_2.

Por otro lado, Woodin est¨¢ trabajando en un proyecto que, en caso de tener ¨¦xito, podr¨ªa cuestionar la consideraci¨®n de la noci¨®n de maximalidad respecto a forcing como criterio de naturalidad. El argumento en favor de (*) quedar¨ªa entonces en entredicho. De hecho, si su proyecto tiene ¨¦xito, sugerir¨ªa que la respuesta correcta al problema del continuo es alef_1. En cualquier caso, el problema del continuo es una pregunta tanto matem¨¢tica como filos¨®fica que todav¨ªa no ha sido contestada de manera concluyente y cuya respuesta seguir¨¢ produciendo matem¨¢ticas interesantes.

David Asper¨® es associate professor en la Universidad de East Anglia (Reino Unido).

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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