?Cu¨¢ntos n¨²meros reales existen?

Pese a que pueda sonar extra?o, existen diferentes tama?os de infinito. De hecho, existe una larga jerarqu¨ªa de infinitos, cada uno mayor que el anterior. El menor infinito se llama alef_0 y es el tama?o ¡ªo cardinal¡ª de la colecci¨®n de todos los n¨²meros naturales: 0, 1, 2, ¡­. El siguiente tama?o de infinito recibe el nombre de alef_1, el siguiente alef_2, despu¨¦s viene alef_3¡­ y as¨ª sucesivamente. A finales del siglo XIX, el matem¨¢tico alem¨¢n Georg Cantor demostr¨® que el cardinal del conjunto de los n¨²meros reales ¡ªque son todos aquellos que aparecen en la recta real¡ª es estrictamente mayor que alef_0. Pero, ?exactamente cu¨¢ntos n¨²meros reales existen? ?Alef_1, alef_2, alef_3, ¡­.?

Cantor opt¨® por la respuesta m¨¢s sencilla y conjetur¨® que la respuesta es alef_1, es decir, el siguiente tama?o de infinito m¨¢s peque?o despu¨¦s del de los n¨²meros naturales. Esta afirmaci¨®n se conoce como la ¡°hip¨®tesis del continuo¡± (HC) y, hasta su muerte, en 1918, Cantor estuvo obsesionado con demostrarla. En 1900, David Hilbert tambi¨¦n incluy¨® este problema como el primero de su famosa lista de problemas para el nuevo siglo. Tuvieron que pasar varias d¨¦cadas hasta que se obtuvo el primer resultado significativo.

El ¨¢rea de las matem¨¢ticas que estudia estas cuestiones es la teor¨ªa de conjuntos, inventada ¡ªo descubierta¡ª por Cantor a finales del siglo XIX y, poco m¨¢s tarde, formalizada a trav¨¦s de la teor¨ªa axiom¨¢tica denominada ZFC; Z por Ernst Zermelo, F por Abraham Fraenkel, y C por el axioma de elecci¨®n (axiom of choice, en ingl¨¦s). Desde hace un siglo, la teor¨ªa ZFC proporciona una base s¨®lida y simple ¡ªlos ¨²nicos ingredientes son los conjuntos y sus elementos, que tambi¨¦n son conjuntos¡ª al edificio de las matem¨¢ticas.

No solo podemos demostrar la existencia de los diferentes tama?os de infinito y compararlos, sino tambi¨¦n que, dado cualquier conjunto X, siempre existe su cardinal, representado mediante la expresi¨®n|X|

Trabajando en esta teor¨ªa es posible modelar o construir la mayor¨ªa de los objetos que pueblan las matem¨¢ticas y tambi¨¦n demostrar la mayor¨ªa de teoremas que aparecen en las diferentes ¨¢reas de esta disciplina. En concreto, no solo podemos demostrar la existencia de los diferentes tama?os de infinito y compararlos, sino tambi¨¦n que, dado cualquier conjunto X, siempre existe su cardinal, representado mediante la expresi¨®n|X|.

En 1938, Kurt G?del demostr¨® que si la teor¨ªa ZFC es consistente ¡ª??es decir, si no es posible llegar a una contradicci¨®n a partir de los axiomas de ZFC¡ª, entonces la teor¨ªa obtenida al a?adir la HC como axioma a ZFC tambi¨¦n es consistente. Este resultado parece sugerir que, si se demostrara la consistencia de la teor¨ªa ZFC, entonces sabr¨ªamos que la hip¨®tesis del continuo es cierta, pero no es as¨ª. Lo que verdaderamente dice es que, si la teor¨ªa ZFC es consistente, entonces no es posible demostrar con ella la falsedad de la hip¨®tesis del continuo.

Por otro lado, en 1963 Paul Cohen demostr¨® que si la teor¨ªa ZFC es consistente, tambi¨¦n lo son otras teor¨ªas en las que el cardinal del continuo (designado por|R|) toma otros valores distintos de alef_1. Para obtener este resultado ¡ªpor el que recibi¨® la medalla Fields en 1966¡ª, Cohen invent¨® el m¨¦todo de forcing. Esta es una t¨¦cnica muy general mediante la cual, a partir de un universo, M, en el que se satisface la teor¨ªa ZFC ¡ªcuya existencia equivale a demostrar la consistencia de ZFC¡ª, es posible construir el m¨ªnimo universo M[g] que tambi¨¦n cumple la teor¨ªa ZFC y contiene todos los objetos de M, as¨ª como un nuevo objeto g.

Para dar una idea de c¨®mo funciona este m¨¦todo, supongamos que el elemento que queremos a?adir a M es una sucesi¨®n infinita formada por ceros y unos. Esta sucesi¨®n debe ser distinta de todas las que contiene M. En particular, esta sucesi¨®n evitar¨¢ cualquier patr¨®n de regularidad definible en M. Por ejemplo, los llamados reales de Cohen sobre M son sucesiones de este tipo.

A pesar de proporcionar la fundamentaci¨®n est¨¢ndar de las matem¨¢ticas, la teor¨ªa ZFC es demasiado d¨¦bil para determinar exactamente cu¨¢ntos reales existen. ?Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matem¨¢tico?

Los reales de Cohen sobre M se definen empleando el concepto de conjunto denso de sucesiones. Si tenemos un conjunto D de sucesiones finitas, decimos que D es denso si cualquier sucesi¨®n finita de ceros y unos se puede extender a una m¨¢s larga que est¨¢ en D. Por ejemplo, es denso el conjunto de sucesiones que son distintas de cero en alguna posici¨®n, ya que cualquier sucesi¨®n se puede extender a una de este tipo, simplemente a?adiendo un uno en su posici¨®n final. Pues bien, un real de Cohen sobre M es una sucesi¨®n c que cumple que cualquier conjunto denso en M contiene alg¨²n segmento inicial de c. Se puede demostrar que ning¨²n real de Cohen sobre M pertenece a M y que, adem¨¢s, existe el m¨ªnimo modelo M[c] que cumple ZFC.

Siguiendo este m¨¦todo es posible a?adir, no uno, sino muchos reales de Cohen, y dise?ar un universo de ZFC en el que se verifica |R|=alef_2, o bien|R|=alef_3, alef_4.... Por tanto, si ZFC es una teor¨ªa consistente, tambi¨¦n lo ser¨¢n las teor¨ªas en las que se a?ade, a ZFC, la afirmaci¨®n de que |R|=alef_2,|R|=alef_3 o |R|=alef_4 ..., y en todas ellas la HC es falsa. As¨ª, uniendo este teorema al de G?del, sabemos que si la teor¨ªa ZFC es consistente, no permite demostrar que la hip¨®tesis del continuo es cierta, ni falsa.

As¨ª pues, a pesar de proporcionar la fundamentaci¨®n est¨¢ndar de las matem¨¢ticas, la teor¨ªa ZFC es demasiado d¨¦bil para determinar exactamente cu¨¢ntos reales existen. ?Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matem¨¢tico? Tal como veremos en un futuro art¨ªculo, esto no es necesariamente as¨ª.

David Asper¨® es ¡®associate professor¡¯ en la Universidad de East Anglia (Reino Unido).

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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