?Qu¨¦ m¨¦todos de demostraci¨®n matem¨¢tica son v¨¢lidos?

Desde los antiguos ge¨®metras griegos, quien dice matem¨¢ticas dice demostraci¨®n. Una demostraci¨®n es un razonamiento que, a partir de unos principios o axiomas que se consideran correctos, permite deducir un resultado o teorema. Las demostraciones son el pegamento que mantiene unidas las matem¨¢ticas. Pero, ?cu¨¢les son los m¨¦todos de demostraci¨®n v¨¢lidos? Es decir, ?de qu¨¦ formas se puede llegar de los axiomas a los resultados? Esta cuesti¨®n experiment¨® un giro radical hace exactamente un siglo. En los felices a?os 20, dos matem¨¢ticos, David Hilbert y L.E.J. Brouwer, discutieron la validez de uno de los m¨¦todos de demostraci¨®n en boga (llamado reducci¨®n al absurdo) y con ello se internaron en el terreno de la filosof¨ªa.

Todo hab¨ªa comenzado m¨¢s de tres d¨¦cadas atr¨¢s. En 1888, un joven Hilbert hab¨ªa dejado boquiabiertos a sus contempor¨¢neos al solucionar un problema algebraico (el problema de Gordan) de un modo tan novedoso que hizo exclamar al propio Paul Gordan, quien hab¨ªa propuesto el problema: ¡°?Esto no son matem¨¢ticas! ?Es teolog¨ªa!¡± En lugar de buscar la soluci¨®n del problema, Hilbert demostr¨® que no pod¨ªa no tener soluci¨®n. Su prueba no era constructiva. Era existencial. No ofrec¨ªa directamente la soluci¨®n del problema, sino que demostraba de forma indirecta que si no la hubiera, se producir¨ªa una contradicci¨®n.

Se trataba de un razonamiento por reducci¨®n al absurdo. Para demostrar que una proposici¨®n matem¨¢tica es verdadera, se prueba que si no lo fuera, se deducir¨ªa una contradicci¨®n (un absurdo), por lo que ha de ser verdadera. El m¨¦todo, ya empleado por Euclides, no era aceptado un¨¢nimemente por la comunidad matem¨¢tica.

La disputa confrontaba dos formas del hacer matem¨¢tico. Por un lado, la visi¨®n constructiva, t¨ªpica del siglo XIX, que forzosamente pasaba por la construcci¨®n del objeto matem¨¢tico cuya existencia se quiere demostrar. Por otro, la existencial, una tendencia que se impondr¨ªa en el siglo XX, y donde la palabra existir no tiene m¨¢s significado que estar exento de contradicci¨®n. Las demostraciones existenciales informan de que en el mundo hay un tesoro escondido, pero no descubren su localizaci¨®n.

Brouwer manten¨ªa que esta clase de razonamiento era responsable de las paradojas que asolaban las matem¨¢ticas desde finales del XIX. El matem¨¢tico neerland¨¦s se percat¨® de que las demostraciones existenciales por reducci¨®n al absurdo se basaban en un principio l¨®gico incuestionado desde que lo formulara Arist¨®teles: el principio de tercio excluso. Este establece que, para cualquier proposici¨®n matem¨¢tica, o bien esta es verdadera, o bien lo es su negaci¨®n, puesto que cualquier tercera opci¨®n queda excluida.

As¨ª, el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo deduce la verdad de una proposici¨®n a partir de que su negaci¨®n no puede ser verdadera. Sin embargo, para Brouwer, este principio no era una verdad filos¨®fica y demostrar la falsedad de la negaci¨®n de un enunciado no garantiza que este sea verdadero, como si no hubiera otra opci¨®n. Porque hay otra posibilidad: existen enunciados que no son verdaderos ni falsos. Por ejemplo, como no sabemos si la expresi¨®n decimal del n¨²mero ¦Ð contiene veinte ceros seguidos, Brouwer dir¨ªa que la proposici¨®n ¡°el desarrollo decimal de ¦Ð contiene veinte ceros seguidos¡± no es ni verdadera ni falsa. Para este matem¨¢tico, afirmar la verdad de un enunciado es dar una prueba constructiva del mismo, de manera que, si no podemos probar que ¦Ð contiene o no veinte ceros seguidos, la proposici¨®n no es verdadera ni falsa a d¨ªa de hoy. El principio de tercio excluso puede ser v¨¢lido para un ser superior, que conociese toda la secuencia decimal de ¦Ð de un vistazo y sabe si la proposici¨®n es verdadera o falsa, pero no lo es para la l¨®gica humana.

En la d¨¦cada de 1920, estas dos filosof¨ªas de las matem¨¢ticas ¨Cel intuicionismo de Brouwer y el formalismo de Hilbert¨C lucharon por el alma de cada matem¨¢tico, al tiempo que sus promotores se enzarzaban en una cruda pol¨¦mica no exenta de golpes bajos, y que Einstein denomin¨® ¡°guerra de sapos y ratones¡±.

En 1921, el matem¨¢tico Hermann Weyl, disc¨ªpulo de Hilbert, public¨® un art¨ªculo titulado Sobre la nueva crisis de fundamentos de las matem¨¢ticas, donde profetizaba el advenimiento de una revoluci¨®n en la forma de hacer matem¨¢ticas de la mano de Brouwer. Hilbert compar¨® el asunto con un golpe de Estado por parte de un fil¨®sofo disfrazado de matem¨¢tico.

Brouwer intent¨® reconstruir la matem¨¢tica sin apelar al principio de tercio excluso, pero el resultado tiraba por la borda m¨²ltiples teoremas cl¨¢sicos. Este precio demasiado alto determin¨® que la mayor¨ªa de matem¨¢ticos, incluso Weyl, terminaran distanci¨¢ndose de la matem¨¢tica intuicionista. Como dec¨ªa Hilbert, quitarle al matem¨¢tico el m¨¦todo de demostraci¨®n por reducci¨®n al absurdo es como prohibir al astr¨®nomo emplear el telescopio o al boxeador usar sus pu?os.

Carlos M. Madrid Casado es investigador de la Fundaci¨®n Gustavo Bueno.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.