David Hilbert y la defensa del rigor matem¨¢tico

El 14 de febrero de 1943 fallec¨ªa en Gotinga (Alemania) David Hilbert, a los 81 a?os de edad. Al funeral del que fuera uno de los m¨¢s importantes matem¨¢ticos de la primera mitad del siglo XX apenas asistieron una docena de amigos. En su l¨¢pida se grab¨® una de sus frases favoritas: Wir M¨¹ssen wissen. Wir werden wissen (Debemos saber. ?Sabremos!). Esta cita refleja la visi¨®n que ten¨ªa Hilbert de su disciplina: confiaba en que todo problema matem¨¢tico admit¨ªa una respuesta, bien mediante una prueba rigurosa de su soluci¨®n o bien con la demostraci¨®n de la imposibilidad de la misma.

El impacto de Hilbert en la ciencia fue inmenso, realiz¨® important¨ªsimas contribuciones en ¨¢reas como teor¨ªa de n¨²meros, geometr¨ªa algebraica, ecuaciones integrales, an¨¢lisis funcional, f¨ªsica matem¨¢tica, etc¨¦tera. Eso le permiti¨® tener una visi¨®n casi universal de las matem¨¢ticas de su tiempo y as¨ª, enunciar, en 1900, una lista de 23 problemas que en su opini¨®n deb¨ªan centrar la atenci¨®n de los matem¨¢ticos del siglo XX. Desde entonces, esa lista motiv¨® gran parte de la investigaci¨®n matem¨¢tica de los siguientes 50 a?os.

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Adem¨¢s, para resolver muchos de los problemas a los que se enfrent¨®, Hilbert construy¨® nuevos marcos te¨®ricos en los que desarrollar las herramientas adecuadas, generando campos de investigaci¨®n hasta entonces insospechados. Esta manera absolutamente novedosa de abordar los problemas le produjo numerosos sinsabores al principio de su carrera. El matem¨¢tico Paul Gordan dijo sobre su famosa demostraci¨®n del problema de los invariantes algebraicos que aquello ¡°no eran matem¨¢ticas, sino teolog¨ªa¡± cuando, a finales de 1888, lo evalu¨® para la Revista Mathematische Annalen. Afortunadamente, Felix Klein, el editor jefe, decidi¨® seguir adelante con la publicaci¨®n, lo que convirti¨® a Hilbert en uno de los matem¨¢ticos m¨¢s importantes del momento.

Hilbert siempre se dedic¨® a buscar el rigor y los principios generales de razonamiento, e hizo importantes contribuciones sobre los fundamentos de las matem¨¢ticas. En 1899 sorprendi¨® al mundo con la publicaci¨®n de un libro, Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la Geometr¨ªa), en el que planteaba un nuevo sistema de 20 axiomas para remediar las grietas que se hab¨ªan detectado en el majestuoso edificio construido por Euclides alrededor del 300 a. C. Adem¨¢s, Hilbert estudi¨® el problema de la independencia de los axiomas y el de la consistencia, o no contradicci¨®n, de los mismos. Estas ideas influyeron decisivamente en la matem¨¢tica posterior e hicieron de los Grundlagen un ¨¦xito mundial, r¨¢pidamente traducido a otros idiomas.

En 1917 Hilbert retom¨® su cruzada a favor del rigor matem¨¢tico, motivado por la creciente aceptaci¨®n de las teor¨ªas de la escuela intuicionista, que llegaban a rechazar el principio l¨®gico que afirma que cualquier proposici¨®n o bien es verdadera o lo es su negaci¨®n. Ello iba contra la idea de Hilbert de que todo problema matem¨¢tico tiene soluci¨®n, por lo que se dedic¨® intensamente a reparar la tremenda mutilaci¨®n que, a su juicio, supondr¨ªa la aceptaci¨®n de las tesis intuicionistas. Y as¨ª propuso un programa que permit¨ªa ¡°eliminar de manera definitiva cualquier duda sobre la confiabilidad de la inferencia matem¨¢tica¡±, utilizando m¨¦todos totalmente finitarios. Hacia 1930 el Programa de Hilbert parec¨ªa bien encaminado, y entre otros ¨¦xitos se hab¨ªa podido demostrar la consistencia (absoluta) de la aritm¨¦tica de los n¨²meros naturales con la adici¨®n (aunque no con la multiplicaci¨®n). Sin embargo, al a?o siguiente, un joven docente de la Universidad de Viena, Kurt G?del, acab¨® con la esperanza de Hilbert, al enunciar su famoso ¡°Teorema de la Incompletitud¡±. Este afirma que todo sistema formal consistente y que contenga a la aritm¨¦tica, incluye enunciados leg¨ªtimos del sistema que son indecidibles, es decir, que ni su afirmaci¨®n ni su negaci¨®n son demostrables en el sistema.

Estos resultados supusieron un golpe demoledor para el programa de Hilbert: la matem¨¢tica cl¨¢sica pod¨ªa ser consistente (y probablemente lo era), pero esta consistencia no pod¨ªa demostrarse por los m¨¦todos que hab¨ªa propuesto. La confianza ilimitada de Hilbert en el poder del pensamiento humano le hizo seguir buscando soluciones para remendar su programa, y aunque no consigui¨® alcanzar su objetivo final de fundamentar s¨®lidamente las matem¨¢ticas, muchas de las l¨ªneas actuales de investigaci¨®n sobre l¨®gica matem¨¢tica, teor¨ªa de la demostraci¨®n y matem¨¢tica inversa son, de alguna manera, continuaciones del programa original de Hilbert.

M¨¢s all¨¢ de su extenso legado, Hilbert dej¨® tras ¨¦l una nutrida escuela, ya que dirigi¨® 69 tesis doctorales. Supo contagiar a sus mejores estudiantes su entusiasmo y pasi¨®n por las matem¨¢ticas, como contaba uno de ellos, Hermann Weyl: ¡°Me parece escuchar todav¨ªa el dulce sonido de la flauta del encantador flautista que era Hilbert, seduci¨¦ndonos como a ratas para seguirle al profundo r¨ªo de las matem¨¢ticas¡­¡±.

Fernando Bombal es profesor em¨¦rito de la Universidad Complutense de Madrid y miembro de la Real Academia de Ciencias Exactas, F¨ªsicas y Naturales.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.