¡®Reductio ad absurdum¡¯

En matem¨¢ticas, no nos vale con que algo parezca que es verdad o con que una propiedad concreta se cumpla para muchos casos: en matem¨¢ticas necesitamos demostraciones. Si queremos decir que algo es cierto, tenemos que demostrarlo, y eso, en much¨ªsimas ocasiones, no es nada sencillo.

Entre los m¨¦todos de demostraci¨®n que tenemos a nuestra disposici¨®n para intentar demostrar un resultado, posiblemente el m¨¢s conocido sea el de demostraci¨®n directa: partiendo de unas ciertas hip¨®tesis, y dando pasos l¨®gicamente v¨¢lidos usando las mismas (o resultados ciertos conocidos previamente), buscamos la conclusi¨®n del resultado a demostrar. Hoy vamos a hablar sobre otro m¨¦todo de demostraci¨®n, quiz¨¢s menos conocido pero con una utilidad sobradamente comprobada: reducci¨®n al absurdo. Para finalizar, veremos un par de ejemplos de aplicaci¨®n del mismo para mostrar su potencia y hablaremos de su (en ocasiones) mala utilizaci¨®n en comunicaci¨®n.

Supongamos que queremos demostrar que un resultado es cierto, no importa si es alguna caracter¨ªstica de un conjunto num¨¦rico, una propiedad geom¨¦trica de cierta construcci¨®n o cualquier otro enunciado matem¨¢tico. Bien, pues el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ah¨ª, a una contradicci¨®n. Es decir, si yo supongo cierto algo (en este caso, lo contrario a lo que quiero demostrar) y con ello llego a algo que es mentira (una contradicci¨®n, algo que sepamos de antemano que es falso¡­), entonces mi suposici¨®n es falsa y, en consecuencia, lo cierto es en realidad lo contrario a lo que supuse en un principio (que, en este caso, ser¨ªa el resultado que queremos demostrar).

Aunque creo que el m¨¦todo habr¨¢ quedado claro con la explicaci¨®n anterior, lo que igual no est¨¢ tan claro es c¨®mo aplicarlo. Y ah¨ª es donde, bajo mi punto de vista, reside la principal dificultad a la hora de utilizarar este m¨¦todo de demostraci¨®n: esto tan, en principio, extra?o de suponer falso lo que queremos demostrar provoca, en ocasiones, que no sepamos muy bien c¨®mo dirigir la demostraci¨®n ni d¨®nde y cu¨¢ndo aparecer¨¢ la contradicci¨®n o de qu¨¦ tipo ser¨¢.

Pero, a pesar de esto, el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo es un m¨¦todo de demostraci¨®n muy potente. Para verlo, y para aclarar las posibles dudas que pudiera haber hasta ahora, vamos a ver un par de ejemplos cl¨¢sicos de aplicaci¨®n de este m¨¦todo de demostraci¨®n.

El primero que vamos a ver est¨¢ relacionado con los n¨²meros primos, los ladrillos con los que podemos construir todos los n¨²meros naturales mediante productos entre ellos. Bien, pues desde hace mucho tiempo se sabe (est¨¢ demostrado) que existen infinitos n¨²meros primos. Se conocen varias demostraciones sobre este hecho, pero la que vamos a ver hoy es la primera de la que se tiene constancia. Al parecer, fue Euclides el autor de la misma (aparece en la Proposici¨®n 20 del Libro IX de Elementos), y utiliza el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo. Vamos a ver una especie de traducci¨®n moderna de la misma.

Queremos demostrar que hay infinitos n¨²meros primos. Lo que hacemos entonces es suponer que lo cierto es lo contrario: suponemos que la cantidad de n¨²meros primos es finita. Digamos, por ejemplo, que hay n n¨²meros primos, y que ¨¦stos son p₁, p₂, ¡­ , p_n.

Consideremos ahora el siguiente n¨²mero:

M=p₁ ¡¤ p₂ ¡¤ ¡­ ¡¤ p_n + 1

Es decir, M es el producto de todos los primos m¨¢s 1. Sabemos que M no es primo (no es ninguno de los anteriores), por lo que es un n¨²mero compuesto, y por tanto debe ser divisible por alg¨²n n¨²mero primo. Ahora, si dividimos M entre p₁, el resto de la divisi¨®n es 1, y lo mismo pasa si lo dividimos entre p₂, entre p₃ o entre cualquiera de los n¨²meros primos de la supuesta lista finita.

Tenemos entonces un n¨²mero M que no es primo y que no es divisible por ninguno de los primos de la lista. Esto significa que debe existir al menos un n¨²mero primo que no est¨¢ en dicha lista (M debe ser divisible al menos por un n¨²mero primo), contradiciendo esto que los ¨²nicos n¨²meros primos son los que aparecen en ella. ?sa es la contradicci¨®n a la que llegamos suponiendo que la lista de n¨²meros primos es finita, lo que significa que la lista de n¨²meros primos es infinita.

Veamos otro ejemplo cl¨¢sico: la irracionalidad de ra¨ªz de 2 Supongamos entonces que ¡Ì2 es un n¨²mero racional, digamos a/b. Es decir:

¡Ì2=a/b

Podemos suponer, sin que ello influya en la demostraci¨®n, que a y b no tienen factores comunes (ya que si los tienen los podemos simplificar y quedarnos con la fracci¨®n irreducible resultante). Elevamos ahora ambos miembros al cuadrado, obteniendo la siguiente expresi¨®n:

2=a²/b²

Si multiplicamos ahora por b² a ambos lados, obtenemos lo siguiente:

2b²=a²

Esto nos asegura que a² es un n¨²mero par (es un m¨²ltiplo de 2), por lo que a es un n¨²mero par, digamos a=2k. Sustituimos en la ¨²ltima expresi¨®n que hemos obtenido y operamos:

2b²=(2k)²=4k²

Dividiendo entre 2 en ambos miembros, obtenemos lo siguiente:

b²=2k²

Por el mismo razonamiento que usamos antes, tenemos entonces que b² es un n¨²mero par, lo que implica que b es un n¨²mero par.

Hemos llegado a que tanto a como b son n¨²meros pares, por lo que ambos tienen al n¨²mero 2 como factor. Esto est¨¢ en contradicci¨®n con la suposici¨®n anterior, que era que estos n¨²meros no ten¨ªan factores comunes. Por tanto, el hecho de suponer que ¡Ì2 es un n¨²mero racional nos lleva a una contradicci¨®n. Esto significa, utilizando el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo, que ¡Ì2 es un n¨²mero irracional, y por tanto no es expresable mediante un cociente de n¨²meros enteros.

Como veis, este m¨¦todo puede ser muy interesante para demostrar resultados cuando no tenemos muy claro c¨®mo hacerlo mediante demostraci¨®n directa, aunque es cierto que, en un principio, no sabemos d¨®nde y cu¨¢ndo aparecer¨¢ la contradicci¨®n.

Pero, como casi todo, la mala utilizaci¨®n de este m¨¦todo puede llevarnos a razonamientos err¨®neos que pueden provocar enga?os. Y no hablo ahora de matem¨¢ticas, sino de comunicaci¨®n verbal.

Hay personas que utilizan este argumento para su propio beneficio, cayendo en muchas ocasiones (sin querer o, mucho peor, a prop¨®sito) en la llamada falacia de la reducci¨®n al absurdo (o falacia de contradicci¨®n). Esta falacia consiste en asegurar que cierta forma de actuar llevar¨ªa a algo absurdo, impensable, injusto o contradictorio, por lo que es obligatorio que actuemos de forma contraria. El problema de este razonamiento es que, habitualmente, esa asociaci¨®n entre una forma de actuar y una conclusi¨®n absurda se hace de manera interesada, basada solamente en opiniones y sin argumentos l¨®gicos s¨®lidos, pervirtiendo as¨ª la esencia del m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo. Pol¨ªticos, l¨ªderes de opini¨®n, tertulianos y otros tipos de charlatanes suelen usar esta falacia para llevarse a la gente a su terreno. As¨ª que mucho cuidado, analizad muy bien esta asociaci¨®n para estar seguros de que no os quieren vender la moto con un argumento falaz.