Dennis Sullivan, premio Abel 2022, un matem¨¢tico poli¨¦drico

A principios de 1960, Dennis Sullivan era un estudiante de Ingenier¨ªa Qu¨ªmica en la Universidad Rice, en Texas (EE. UU.), con un porvenir asegurado en la boyante industria petroqu¨ªmica local. En su segundo a?o se enrol¨® en un curso de an¨¢lisis matem¨¢tico, como estaba mandado y, a las pocas semanas, su profesor les explic¨® el teorema de representaci¨®n conforme de Riemann. Este resultado, uno de los grandes hitos del siglo XIX, afirma que es posible deformar a gran escala una superficie de forma muy complicada, respetando, a peque?a escala, la forma original. Si en lugar de figuras planas se con...

A principios de 1960, Dennis Sullivan era un estudiante de Ingenier¨ªa Qu¨ªmica en la Universidad Rice, en Texas (EE. UU.), con un porvenir asegurado en la boyante industria petroqu¨ªmica local. En su segundo a?o se enrol¨® en un curso de an¨¢lisis matem¨¢tico, como estaba mandado y, a las pocas semanas, su profesor les explic¨® el teorema de representaci¨®n conforme de Riemann. Este resultado, uno de los grandes hitos del siglo XIX, afirma que es posible deformar a gran escala una superficie de forma muy complicada, respetando, a peque?a escala, la forma original. Si en lugar de figuras planas se consideran vol¨²menes tridimensionales, esto es imposible.

Al comprender este teorema, todo cambi¨® para Sullivan. ¡°Las matem¨¢ticas eran algo profundo, general, a lo que merec¨ªa la pena dedicarse¡±, afirmaba a?os m¨¢s tarde. Desde aquel momento, en su discurrir incansable en pos del entendimiento de las matem¨¢ticas, Sullivan ha ido creando una de las obras m¨¢s influyentes y variadas de los ¨²ltimos 60 a?os. Prueba de ello es que, si se pregunta sobre ¨¦l a distintos especialistas, muchos coincidir¨¢n en que le deben sus ¨¢reas de investigaci¨®n, pero parecer¨¢ que cada uno habla de una persona diferente.

Unos destacar¨¢n sus primeros trabajos, cruciales para el desarrollo de la topolog¨ªa moderna: su t¨¦cnica de localizaci¨®n en primos, la teor¨ªa de la homotop¨ªa racional, o la demostraci¨®n de la conjetura de Adams. Otros acentuar¨¢n sus aportaciones al estudio de los grupos kleineanos o a la din¨¢mica holomorfa. Entre estas, est¨¢ su famoso ¡°teorema del dominio no errante¡± (¡°no wandering domain theorem¡±).

Este teorema se inscribe en la siguiente cuesti¨®n: partimos de cierta regla para asignar a todo punto de la superficie de una esfera otro punto de la misma superficie; aplicando esta regla, como se ve en el dibujo, el punto x se transforma en y, y la regi¨®n de puntos amarilla A se transforma en otra B. Si aplicamos ahora la misma regla de transformaci¨®n sobre el resultado, y repetimos esto suficientes veces, podr¨ªamos volver a una de las regiones por las que ya hemos pasado. En este caso, decimos que el conjunto amarillo no es errante. Para una regla de transformaci¨®n y una regi¨®n generales, es muy raro que esto ocurra.

En los a?os veinte del siglo pasado, el matem¨¢tico franc¨¦s Pierre Fatou conjetur¨® que, para cierta clase de reglas de transformaci¨®n, hab¨ªa unas regiones, llamadas ahora conjuntos de Fatou, que no eran errantes. Sullivan fue el primero en demostrarlo, 60 a?os m¨¢s tarde, gracias a su rara habilidad para discernir qu¨¦ estructuras matem¨¢ticas son esenciales en un problema.

Las reglas de transformaci¨®n que consider¨® Fatou, llamadas funciones racionales, consisten solamente en realizar una cantidad finita de sumas y multiplicaciones, y despu¨¦s una divisi¨®n. Esto trae consigo que no hay ¡°demasiadas¡± reglas de esta clase. Mejor dicho, aunque hay infinitas, basta una lista de, por ejemplo, 100 n¨²meros (100 coordenadas) para describir a cada una, de forma an¨¢loga a lo que ocurre con los puntos sobre un mapa: tambi¨¦n hay infinitos, pero cada uno se puede situar inequ¨ªvocamente con dos coordenadas. Decimos que el mapa tiene dos dimensiones, y el ¡°espacio de todas las reglas¡± tiene cien.

Sullivan se pregunt¨® qu¨¦ pasar¨ªa si la conjetura de Fatou fuese falsa, es decir, si las regiones de Fatou fuesen errantes, y demostr¨® que, en tal caso, ?el ¡°espacio de todas las reglas¡± tendr¨ªa infinitas dimensiones! Pero sabemos que esto es falso, por tanto, la conjetura de Fatou es correcta. Para llegar a esta contradicci¨®n, Sullivan utiliz¨® estructuras irregulares (llamadas transformaciones casi-conformes) en un problema cuyas estructuras aparentes son muy regulares.

Quedar¨ªan todav¨ªa much¨ªsimas aportaciones igualmente importantes de Sullivan por mencionar: ciclos foliados, topolog¨ªa de cuerdas¡­ junto con otras, menos visibles, que van m¨¢s all¨¢ de lo que se puede encontrar en sus art¨ªculos. Muchos trabajos de otros matem¨¢ticos han resultado no ya de su inspiraci¨®n, sino directamente de su concierto.

Su seminario en la City University of New York, en plena Quinta Avenida, ha sido durante d¨¦cadas un centro de la vida matem¨¢tica de la ciudad. All¨ª presentan sus ¨²ltimos trabajos investigadores venidos de todas partes, en sesiones que a veces se prolongan cinco o seis horas, derivando en una especie de jam session matem¨¢tica gracias a la atm¨®sfera afable e inquisitiva que promueve el organizador.

Quienes conocen a Sullivan quedan impresionados por su energ¨ªa, su sagacidad, y su generosidad. Muchos se sentir¨¢n identificados en la experiencia que relata el matem¨¢tico franc¨¦s Etienne Ghys: siendo este todav¨ªa un estudiante doctoral en Lille, pas¨® un d¨ªa por all¨ª Sullivan, ya c¨¦lebre, para presidir un tribunal de tesis. Se pusieron a charlar y a Ghys le sorprendi¨® el inter¨¦s que mostraba el gran matem¨¢tico por su trabajo. Al rato, alguien vino a buscar a Sullivan para que se uniese a beber algo: ¡°No¡±, respondi¨®, ¡°I am drinking mathematics with Etienne!¡±

Francisco Javier Torres de Lizaur es profesor en la Facultad de Matem¨¢ticas de la Universidad de Sevilla.

?gata Tim¨®n G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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