Olga Ladyzhenskaya, una vida dedicada a las ecuaciones

Olga Ladyzhenskaya fue una de las personas m¨¢s influyentes y brillantes del siglo XX en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Naci¨® el 7 de marzo de 1922, hace ahora justo 100 a?os, en Kologriv, Rusia, en una familia con or¨ªgenes nobiliarios. Su procedencia le ocasion¨® grandes dificultades, tanto en el ¨¢mbito personal como profesional, en una Uni¨®n Sovi¨¦tica liderada por Stalin. Su padre fue considerado enemigo de la naci¨®n y ejecutado cuando Olga ten¨ªa 15 a?os.

Pese a las dificultades, el talento de Ladyzhenskaya para las matem¨¢ticas y la ense?anza le permitieron llegar a la Universidad Estatal de Mosc¨² en 1943, despu¨¦s de que en 1939 se le denegara el acceso a la Universidad de Leningrado. En Mosc¨² entr¨® en contacto con prestigiosos matem¨¢ticos como Ivan Petrovsky, Vyacheslaw Stepanov, Andrei Tikhonov o Ilia Vekua, quienes despertaron su inter¨¦s por las EDP y la f¨ªsica matem¨¢tica, especialmente Nikolai Smirnov.

Ladyzhenskaya finaliz¨® su tesis doctoral en 1951, pero no pudo publicarla hasta 1953, tras la muerte de Stalin. En ella estudiaba la existencia de soluciones de cierto tipo de problemas de EDP llamadas hiperb¨®licas. Para ello adapt¨® el llamado m¨¦todo de las diferencias finitas, que a d¨ªa de hoy es una herramienta esencial para la matem¨¢tica te¨®rica y tambi¨¦n para la aplicada. Efectivamente, muchos de los m¨¦todos utilizados para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones mediante un ordenador lo usan.

En la misma l¨ªnea introdujo m¨¦todos fundamentales para entender ecuaciones en las que aparecen operadores el¨ªpticos de segundo orden, muy frecuentes en sistemas f¨ªsicos de cierta complejidad, como un material sometido a fuerzas que intentan deformarlo. Las ideas que desarroll¨® forman hoy parte de teor¨ªas como la del an¨¢lisis espectral de operadores y han contribuido al establecimiento de nociones como la de ¡°soluci¨®n d¨¦bil¡±, que es una herramienta esencial de la teor¨ªa moderna de EDP. Estos trabajos contribuyeron a la resoluci¨®n del problema 20 de la lista de 23 que en 1900 el matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert propuso como los desaf¨ªos m¨¢s importantes para las matem¨¢ticas del siglo XX.

El resto de su carrera estuvo dedicada al estudio de la existencia y unicidad de soluciones de algunas de las EDP m¨¢s importantes de la f¨ªsica como, por ejemplo, las ecuaciones de la elasticidad, que modelan el comportamiento de los materiales, la ecuaci¨®n de Schr?dinger, que gobierna el mundo cu¨¢ntico o las de Maxwell, que describe el electromagnetismo. Pero, sin duda, las ecuaciones que m¨¢s interesaron a Olga fueron las de Navier-Stokes. Estas ecuaciones, propuestas independientemente por Claude-Louis Henri Navier en 1822 y por George Gabriel Stokes en 1845, describen el movimiento de un fluido incompresible, bas¨¢ndose en los trabajos previos de Leonhard Euler.

Sin embargo, no fue hasta mediados del siglo XX, que Jean Leray y Eberhard Hopf construyeron una teor¨ªa de existencia de soluciones para ellas, dando lugar a las llamadas soluciones de Leray-Hopf. El problema de la regularidad de estas soluciones y el de su unicidad siguen abiertos en la actualidad y son uno de los temas centrales en la investigaci¨®n matem¨¢tica contempor¨¢nea. El instituto Clay de Matem¨¢ticas ofrece un mill¨®n de d¨®lares por la soluci¨®n del primero. Algunos de los resultados m¨¢s profundos sobre estos problemas se deben a Ladyzhenskaya y uno de los libros cl¨¢sicos en esta disciplina, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, es obra suya.

Los primeros resultados que obtuvo en mec¨¢nica de fluidos fueron para el sistema de Stokes, que considera las ecuaciones de Navier-Stokes independientes del tiempo. Su principal logro fue demostrar la existencia de soluciones en dominios acotados en la d¨¦cada de los cincuenta del siglo pasado. Junto con Vsevolod Solonnikov, probar¨ªa m¨¢s tarde tambi¨¦n su unicidad. Despu¨¦s, Ladyzhenskaya prob¨® existencia local de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes y la unicidad de las mismas, bajo condiciones m¨¢s restrictivas que las que cumplen, en general, las de Leray-Hopf.

En 1967 prob¨® uno de sus resultados m¨¢s potentes. En ¨¦l, demostr¨® que las soluciones de Leray-Hopf son regulares (suaves) si cierta cantidad, que mide el tama?o de la velocidad, permanece finita. Una manera de entender este teorema, conocido como el criterio de Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin ¨Cya que Giovanni Prodi y James Serrin demostraron el mismo resultado, obviando ciertas cuestiones t¨¦cnicas, en las mismas fechas de manera independiente¨C, es el siguiente: si el movimiento de un fluido deja de ser regular, es decir, si sufre cambios bruscos, es porque la velocidad se ha hecho enorme. No hay casos intermedios, no podemos ver un cambio brusco en la direcci¨®n de su movimiento si su velocidad es finita.

Este teorema, y los argumentos utilizados para probarlo, siguen siendo explorados en la actualidad para entender el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Olga Ladyzehnskaya muri¨® el 12 de enero de 2004 con 81 a?os. Hasta su muerte se mantuvo activa investigando las soluciones de las EDP.

?ngel Castro es investigador del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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