Los misterios de la cicloide, una de las curvas m¨¢s presentes en la naturaleza

Tal d¨ªa como hoy, 19 de junio, hace 400 a?os, nac¨ªa el matem¨¢tico, f¨ªsico, fil¨®sofo, te¨®logo e inventor Blaise Pascal en Clermont (Francia). El delicado estado de salud en el que vivi¨® toda su vida no le impidi¨® realizar numerosas contribuciones en geometr¨ªa, probabilidad, combinatoria y mec¨¢nica de fluidos. En honor a sus contribuciones en esta ¨²ltima ¨¢rea, la unidad de medida de presi¨®n en el Sistema Internacional de Unidades se conoce como pascal. Adem¨¢s, aunque son menos populares, tambi¨¦n realiz¨® profundas aportaciones sobre una de las curvas m¨¢s presentes en la naturaleza: la cicloide. Sus ideas se anticiparon unos pocos a?os al desarrollo del c¨¢lculo infinitesimal, una teor¨ªa fundamental en las matem¨¢ticas modernas y sus aplicaciones.

Pascal no asisti¨® a ning¨²n colegio ni universidad, pero su padre le ense?¨® lat¨ªn, griego, matem¨¢ticas, historia, filosof¨ªa y derecho can¨®nico y civil. Desde una temprana edad mostr¨® talento en matem¨¢ticas y se form¨® con los Elementos de Euclides de manera autodidacta. Con tan solo 19 a?os comenz¨® a dise?ar una calculadora mec¨¢nica, conocida como pascalina, con el fin de ayudar a su padre en su puesto de recaudador de impuestos.

Fue en sus ¨²ltimas contribuciones en matem¨¢ticas, recogidas en su correspondencia con Pierre de Carcavi ¡ªmatem¨¢tico y secretario de la Biblioteca Nacional francesa durante el reinado de Luis XIV¡ª, cuando se centr¨® en una curva llamada cicloide. La cicloide es la curva descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una recta sin resbalar. Es decir, si tenemos una rueda y marcamos un punto en su borde, al hacer rodar la rueda a lo largo de una recta, el punto se?alado trazar¨¢ una cicloide.

Como el propio Pascal dijo, la cicloide es, junto con la l¨ªnea recta y la circunferencia, una de las l¨ªneas m¨¢s comunes en la naturaleza. As¨ª, se encuentra en las crestas de la superficie helada de Europa, el sat¨¦lite de J¨²piter. Los arcos en forma de cicloide se emplean en arquitectura; de hecho, este es el motivo por el cual el c¨¦lebre Galileo Galilei se interes¨® en conocer su ¨¢rea. Asimismo, ciertas m¨¢quinas emplean reductores cicloidales, unos engranajes cuyo contorno tiene forma de cicloides.

No est¨¢ claro qui¨¦n fue la primera persona en describir la cicloide. La primera menci¨®n a la cicloide se asocia a Charles de Bovelles, en 1501; pero ¡ªtal y como afirma el matem¨¢tico e historiador Paul Tannery¡ª, ¡°en la curva de doble movimiento de Carpo [de Antioqu¨ªa] es dif¨ªcil no reconocer la cicloide, cuya generaci¨®n tan simple no pudo escapar a los antiguos¡±.

Los primeros estudios publicados sobre las propiedades de la cicloide son de Galileo. En concreto, realiz¨® una estimaci¨®n del ¨¢rea que encierra la curva de forma experimental: gener¨® una cicloide haciendo rodar un disco de metal, fabric¨® una pieza del mismo metal con la forma del ¨¢rea bajo dicha cicloide y compar¨® los pesos del disco y de dicha pieza. Su resultado ¡ª3¦Ð por el cuadrado del radio del disco¡ª fue demostrado, de manera independiente, por Pierre de Fermat y Gilles de Roberval.

Pero Pascal se dio cuenta de que es interesante conocer las propiedades no solo de la cicloide completa, sino tambi¨¦n de sus arcos, y del ¨¢rea y volumen que estos encierran. Fue capaz de determinar el ¨¢rea y centro de gravedad de la figura plana encerrada por un arco de cicloide ¡ªen la figura inferior se corresponde con la parte sombreada¡ª. Adem¨¢s, calcul¨® los vol¨²menes y centros de gravedad de las figuras tridimensionales que se generan haciendo girar esta figura plana alrededor de su eje vertical u horizontal.

Para ello, Pascal hizo uso del m¨¦todo de indivisibles, que ya usaban los antiguos griegos. Este m¨¦todo se basa en considerar a las l¨ªneas como ¡°sumas¡± de puntos, a las figuras planas como ¡°sumas¡± de l¨ªneas y a las figuras tridimensionales como ¡°sumas¡± de figuras planas. Estas ideas fueron refinadas unos a?os m¨¢s tarde por Isaac Newton y por Gottfried Wilhelm Leibniz, en sus desarrollos del c¨¢lculo infinitesimal.

Sus resultados sobre la cicloide y otras de sus muchas contribuciones a diferentes ¨¢reas est¨¢n explicadas de forma cronol¨®gica por el historiador y escritor Donald Adamson en Blaise Pascal: Mathematician, Physicist, and Thinker about God. Efectivamente, adem¨¢s de realizar brillantes contribuciones en matem¨¢ticas y filosof¨ªa, realiz¨® importantes experimentos en f¨ªsica, que llevar¨ªan a la invenci¨®n de la prensa hidr¨¢ulica o la jeringa. La trayectoria de Pascal, y la historia de la cicloide, son una muestra de c¨®mo el conocimiento te¨®rico y pr¨¢ctico son inseparables.

Asier L¨®pez Gord¨®n es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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