Particiones y repartos

En el problema de la esfera de la semana pasada parecen faltar datos, pero la soluci¨®n es ¨²nica. Por las condiciones del problema, tanto 4r? como 4r?/3 han de ser n¨²meros enteros de cuatro cifras, o sea, comprendidos entre 1.000 y 9.999, por lo que 20 > r > 15, y como ha de ser entero, r solo puede tomar los valores 16, 17, 18 o 19. Por otra parte, para que 4r?/3 sea entero, r ha de ser divisible por 3, por lo que la ¨²nica posibilidad es r = 18.

?Y si en vez de cuat...

En el problema de la esfera de la semana pasada parecen faltar datos, pero la soluci¨®n es ¨²nica. Por las condiciones del problema, tanto 4r? como 4r?/3 han de ser n¨²meros enteros de cuatro cifras, o sea, comprendidos entre 1.000 y 9.999, por lo que 20 > r > 15, y como ha de ser entero, r solo puede tomar los valores 16, 17, 18 o 19. Por otra parte, para que 4r?/3 sea entero, r ha de ser divisible por 3, por lo que la ¨²nica posibilidad es r = 18.

?Y si en vez de cuatro cifras ambos n¨²meros enteros tuvieran cinco? ?Se puede generalizar a n cifras?

En cuanto al tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo a dividir en acut¨¢ngulos, es f¨¢cil llegar a la falsa conclusi¨®n de que es imposible (Martin Gardner contaba que en su d¨ªa recibi¨® varias ¡°demostraciones¡± de tal imposibilidad), pues por mucho que lo dividamos siempre acaba quedando al menos un peque?o y obstinado obtus¨¢ngulo, como el del v¨¦rtice inferior derecho de la figura.

Sin embargo, la divisi¨®n es posible, y como pista dir¨¦ que es uno de esos instructivos problemas en los que, inconscientemente, nos ponemos m¨¢s condiciones de las que nos piden. El m¨¢s conocido de estos acertijos es el de los nueve puntos en cuadr¨ªcula que hay que unir con solo cuatro trazos rectil¨ªneos sin levantar el l¨¢piz del papel, y del que hemos hablado m¨¢s de una vez en esta secci¨®n.

En este caso, la condici¨®n autoimpuesta es la de que los v¨¦rtices de la l¨ªnea quebrada de la soluci¨®n coincidan con sendos puntos de la cuadr¨ªcula.

Hay numerosos problemas verbales de este tipo, que a veces ponen en evidencia arraigados prejuicios. Un ejemplo cl¨¢sico:

Una joven y su padre sufren un accidente de autom¨®vil. El padre muere en el acto y a la chica hay que operarla de urgencia. La trasladan al hospital m¨¢s cercano, pero quien deber¨ªa realizar la delicada operaci¨®n pide que la lleve a cabo otra persona, alegando que la v¨ªctima es su hija. ?C¨®mo es posible, si el padre acaba de morir en el accidente? Muy sencillo: la cirujana es la madre de la chica. (En ingl¨¦s queda mucho mejor, al jugar con la ambig¨¹edad del t¨¦rmino doctor).

En cuanto al pal¨ªndromo 121121, derivado de la fecha de publicaci¨®n de la entrega anterior (12 11 21), es un supercapic¨²a: adem¨¢s de estar formado por dos 121 (que a su vez es el cuadrado de 11, el menor de los capic¨²as), 121121 = 33? + 44?, la suma de los cubos de dos capic¨²as consecutivos. Y por si esto fuera poco, 121121 = 66? ¨C 55?, la diferencia entre los cubos de otros dos capic¨²as consecutivos entre s¨ª y consecutivos de los dos anteriores.

Quien parte y reparte¡­

Un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo dividido en acut¨¢ngulos, una esfera dividida por un plano (ver entrega de la semana pasada), un capic¨²a descompuesto en cubos¡­ Sigamos, pues, con el interesante asunto de las particiones.

Preguntaba recientemente un lector en cu¨¢ntas partes se puede dividir una pizza con 1, 2, 3, 4¡­ cortes rectil¨ªneos. Es evidente que con un corte solo se puede dividir en dos partes, con dos cortes en cuatro, con tres cortes en siete¡­ (?Y un bizcocho? Pero ?tiene sentido diferenciar entre una pizza y un bizcocho?). ?Se puede generalizar el problema a n cortes?

Para evitar que el que parte y reparte se lleve la mejor parte, hay un procedimiento sencillo, cuando las partes son dos, para lograr que ambos se queden satisfechos: uno parte y el otro elige, con lo que el primero pone buen cuidado en que las partes sean iguales. Pero ?y si son tres las personas que desean repartirse algo de forma equitativa? ?Y si son cuatro, cinco, seis¡­?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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