Razonamiento iterativo

Los hoteles equidistantes de la semana pasada pueden estar, si los consideramos como puntos, en cualquier disposici¨®n que los sit¨²e en los v¨¦rtices de un tetraedro regular; no es necesario que tres est¨¦n al nivel del mar y el cuarto en lo alto de una colina: podr¨ªan estar en colinas de distintas alturas, o haber incluso alguno subterr¨¢neo, como sugiere Fernando Garro. Pero los edificios no son puntos inextensos, as¨ª que hay una infinidad de otras soluciones -no tetra¨¦dricas- posibles, como la q...

Los hoteles equidistantes de la semana pasada pueden estar, si los consideramos como puntos, en cualquier disposici¨®n que los sit¨²e en los v¨¦rtices de un tetraedro regular; no es necesario que tres est¨¦n al nivel del mar y el cuarto en lo alto de una colina: podr¨ªan estar en colinas de distintas alturas, o haber incluso alguno subterr¨¢neo, como sugiere Fernando Garro. Pero los edificios no son puntos inextensos, as¨ª que hay una infinidad de otras soluciones -no tetra¨¦dricas- posibles, como la que env¨ªa nuestro comentarista habitual Salva Fuster. Y puesto que los edificios no tienen por qu¨¦ ser iguales ni en forma ni en tama?o, ?hay soluciones para cinco o m¨¢s hoteles equidistantes?

En cuanto al problema de los maridos infieles, ha suscitado, como era de esperar, un gran n¨²mero de comentarios. Y digo ¡°como era de esperar¡± porque pertenece a ese escurridizo tipo de problemas en los que, para resolverlos, hay que pensar lo que pensar¨¢n los dem¨¢s. El m¨¢s famoso es el cl¨¢sico de los tres sombreros blancos y los dos sombreros negros, del que hemos hablado en m¨¢s de una ocasi¨®n. Pero el m¨¢s controvertido (an¨¢logo al de los maridos infieles) posiblemente sea el de la isla de los ojos azules:

En una isla hay 100 habitantes, 10 con los ojos azules y 90 con los ojos marrones. Todos ven el color de los ojos ajenos, pero no el propio. No pueden hablar del asunto y no hay espejos, y hay una ley que prescribe que si alguien descubre que tiene los ojos azules, ha de abandonar la isla a las 8 de la ma?ana del d¨ªa siguiente. Todos los habitantes de la isla son capaces de razonar de forma impecablemente l¨®gica. Un d¨ªa llega un forastero a la isla y dice tras ver a todos sus habitantes: ¡°Me complace haber visto al menos a una persona con los ojos azules¡±.

?Qu¨¦ hicieron los habitantes de la isla tras o¨ªr este comentario?

La soluci¨®n convencional es que todos los que tienen los ojos azules abandonar¨¢n la isla el d¨¦cimo d¨ªa. Si solo hubiera un habitante con los ojos azules, sabr¨ªa inmediatamente que el forastero se refiere a ¨¦l, pues sabe que los otros 99 los tienen marrones, y se marchar¨ªa a la ma?ana siguiente. Si solo hubiera dos, al ver que a la ma?ana siguiente no se va nadie, ambos sabr¨ªan que tienen los ojos azules, ya que pensar¨ªan: ¡°Si el ¨²nico de los otros 99 que tiene los ojos azules viera que los m¨ªos son marrones, sabr¨ªa inmediatamente que los suyos son azules y se habr¨ªa marchado¡±; por lo tanto, ambos se marchar¨ªan el segundo d¨ªa. Y razonando de esta forma iterativa, llegamos a la conclusi¨®n de que el d¨¦cimo d¨ªa se marchar¨ªan los 10 isle?os de ojos azules.

?Un razonamiento irrefutable? Tal vez no, y quienes deseen profundizar en el tema encontrar¨¢n en la red abundante documentaci¨®n (ver, por ejemplo, el blog del gran matem¨¢tico australiano Terry Tao).

Hay numerosos problemas y chascarrillos basados en razonamientos iterativos y/o que implican ponerse en el lugar de los dem¨¢s, algunos muy sencillos y otros no tanto. Por ejemplo:

Tres amigos entran en un bar y el camarero les pregunta si los tres quieren cerveza, y las repuestas son:

-No lo s¨¦.

-No lo s¨¦.

-S¨ª.

O el problema del cumplea?os de Cheryl, planteado en las olimp¨ªadas matem¨¢ticas de Singapur:

Albert y Bernard quieren saber cu¨¢ndo es el cumplea?os de Cheryl y ella les da una lista de diez posibles fechas: 15 de mayo, 16 de mayo, 19 de mayo, 17 de junio, 18 de junio, 14 de julio, 16 de julio, 14 de agosto, 15 de agosto y 17 de agosto. Luego Cheryl le dice a Albert al o¨ªdo en qu¨¦ mes cumple a?os y a Bernard, tambi¨¦n al o¨ªdo, el n¨²mero del d¨ªa.

-Yo no s¨¦ cu¨¢ndo es el cumplea?os de Cheryl, pero s¨¦ que Bernard tampoco lo sabe -dice Albert.

-Antes de o¨ªr a Albert yo no sab¨ªa cu¨¢ndo era el cumplea?os de Cheryl, pero ahora lo s¨¦ -dice Bernard.

-Entonces yo tambi¨¦n lo s¨¦ -concluye Albert.

?Cu¨¢ndo es el cumplea?os de Cheryl?

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