El teorema del ¨ªndice de Atiyah-Singer

Gran parte de los modelos matem¨¢ticos que describen las leyes de la naturaleza vienen formulados en t¨¦rminos de ecuaciones diferenciales. En general, resulta muy dif¨ªcil, a veces imposible, encontrar soluciones expl¨ªcitas a una determinada ecuaci¨®n diferencial, siendo m¨¢s razonable preguntarse cu¨¢ntas soluciones existen (suponiendo que exista alguna). Pues bien, el teorema del ¨ªndice de Atiyah y Singer, aparecido hace m¨¢s de cuatro d¨¦cadas y por el que ambos autores han recibido el Premio Abel 2004, da una respuesta a esta pregunta para una clase muy amplia de ecuaciones diferenciales.

El teorema proporciona una f¨®rmula que determina el n¨²mero de soluciones en funci¨®n exclusivamente de la topolog¨ªa o forma del espacio en el que el modelo tiene lugar. Se trata de un resultado muy profundo, en el que se combinan ramas de las matem¨¢ticas tan diversas y fundamentales como el an¨¢lisis, la topolog¨ªa y la geometr¨ªa, contando con un sinnumero de importantes aplicaciones a todas estas disciplinas, y m¨¢s recientemente a la f¨ªsica cu¨¢ntica de part¨ªculas.

Recientemente se ha dado una demostraci¨®n basada en la f¨ªsica cu¨¢ntica

Creado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, el an¨¢lisis matem¨¢tico se ocupa del estudio de las funciones en un determinado espacio, as¨ª como de sus derivadas e integrales. ?stos son los ingredientes esenciales para el estudio de las ecuaciones diferenciales, ecuaciones que establecen relaciones entre las derivadas de una o varias funciones. Las ecuaciones diferenciales proporcionan una potent¨ªsima herramienta para describir los fen¨®menos estudiados por las ciencias naturales, particularmente por la f¨ªsica. Las leyes de Newton de la gravedad, el movimiento de los fluidos, la teor¨ªa de la relatividad de Einstein, los diversos modelos del universo y de las interacciones entre part¨ªculas elementales, todos vienen descritos mediante ecuaciones diferenciales.

La topolog¨ªa y la geometr¨ªa son dos disciplinas matem¨¢ticas que, como el an¨¢lisis, son esenciales en el teorema del ¨ªndice de Atiyah-Singer. La topolog¨ªa de un espacio tiene que ver con la forma de ese espacio en un sentido mas b¨¢sico y crudo que el de la geometr¨ªa. Dos espacios tienen la misma topolog¨ªa si uno puede deformarse en el otro -como si de figuras de plastilina se tratase- sin producir agujeros o rasgaduras. Por otro lado, siempre que hablamos de distancias, ¨¢ngulos, rectas o planos estamos hablando de geometr¨ªa. Por ejemplo, las superficies de un bal¨®n de f¨²tbol y de un bal¨®n de rugby son topol¨®gicamente indistinguibles, a pesar de ser bien distintas geom¨¦tricamente, como pone de manifiesto la distinta manera en que se curvan sus respectivas l¨ªneas meridianas.

Los aspectos topol¨®gicos m¨¢s relevantes para el teorema del ¨ªndice tienen m¨¢s que ver con las propiedades globales de un espacio que con sus propiedades locales, confinadas ¨¦stas ¨²ltimas a un entorno. Un ejemplo de propiedad global lo proporcionan las superficies cerradas, esto es, superficies sin borde, que, como la esfera, pueden encontrarse en el espacio ordinario tridimensional. Resulta que una superficie de este tipo se puede deformar siempre topol¨®gicamente a una esfera con un n¨²mero determinado de asas. Por ejemplo, la superficie de una rosquilla es equivalente a una esfera con un asa. As¨ª pues, el n¨²mero de asas es una propiedad global que caracteriza a la superficie topol¨®gicamente.

El espacio en el que se define un modelo matem¨¢tico puede ser m¨¢s o menos complicado, dependiendo del fen¨®meno que se desea describir, pudiendo tener cualquier dimensi¨®n en general. En los modelos f¨ªsicos, por ejemplo, se puede considerar el espacio-tiempo usual o incluso un espacio-tiempo en el que en cada punto el observador est¨¢ equipado de un espacio interno adicional que le permite medir determinadas propiedades f¨ªsicas, como la masa, la carga, o el esp¨ªn de una part¨ªcula.

Por ejemplo, en la teor¨ªa de Yang-Mills que describe la f¨ªsica de las part¨ªculas elementales, este espacio interno es un objeto algebraico denominado grupo de Lie. Si el grupo considerado es la circunferencia, vista como el grupo de rotaciones de un plano, la teor¨ªa de Yang-Mills coincide con el modelo de Maxwell del electromagnetismo, que explica fen¨®menos naturales como los rayos de las tormentas o los imanes.

Otras fuerzas fundamentales de la naturaleza, relevantes en los fen¨®menos cu¨¢nticos a peque?a escala, son la interacci¨®n d¨¦bil y la interacci¨®n fuerte. Estas fuerzas, que tienen lugar en los n¨²cleos de los ¨¢tomos, y que son responsables en gran medida de la estabilidad de la materia, vienen descritas considerando otros grupos de Lie.

Pues bien, despu¨¦s de estas ideas preliminares, podemos ya enunciar el teorema del ¨ªndice, aunque sea de un modo aproximado. Supongamos que tenemos un modelo matem¨¢tico definido por una ecuaci¨®n diferencial. El ¨ªndice es esencialmente el n¨²mero de soluciones de la ecuaci¨®n. M¨¢s precisamente, ¨¦ste se define como la diferencia entre el numero de par¨¢metros necesarios para describir todas las soluciones y el n¨²mero de relaciones impuestas por la ecuaci¨®n diferencial.

Por supuesto, para que esta definici¨®n tenga sentido, ambos n¨²meros deben ser finitos, propiedad que cumplen precisamente las ecuaciones a las que se aplica el teorema -ecuaciones diferenciales lineales el¨ªpticas-. La f¨®rmula de Atiyah-Singer expresa el ¨ªndice en funci¨®n de determinadas cantidades denominadas clases caracter¨ªsticas, que s¨®lo dependen de la topolog¨ªa del espacio sobre el que est¨¢ definido el modelo. Por ejemplo, en muchos problemas definidos sobre una superficie cerrada como las descritas anteriormente el ¨ªndice viene dado en funci¨®n del n¨²mero de asas de la superficie (la ¨²nica clase caracter¨ªstica en este caso).

?ste es precisamente el contexto del teorema de Gauss-Bonnet que expresa la curvatura total de una superficie (una noci¨®n de naturaleza geom¨¦trica) en funci¨®n del n¨²mero de asas de la misma, o el teorema de Riemann-Roch que relaciona la teor¨ªa de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann (una teor¨ªa anal¨ªtica) con el n¨²mero de asas de la superficie. Estos son dos importantes teoremas del siglo XIX, entre los muchos resultados que generaliza el teorema de Atiyah-Singer.

Como es l¨®gico imaginar, debido a su profundidad, el teorema del ¨ªndice no es de f¨¢cil demostraci¨®n. No obstante, a lo largo de los a?os se han dado varias demostraciones que, junto con las proporcionadas originalmente por Atiyah y Singer, han hecho cada vez m¨¢s transparente el teorema. Algunas demostraciones son topol¨®gicas, otras son de car¨¢cter anal¨ªtico, como la basada en la ecuaci¨®n de conducci¨®n del calor.

M¨¢s recientemente se ha dado una demostraci¨®n basada en la f¨ªsica cu¨¢ntica, m¨¢s concretamente, en la noci¨®n de supersimetr¨ªa. Es bien sabido que los principios de simetr¨ªa son fundamentales en f¨ªsica, por ejemplo las teor¨ªas de Yang-Mills, mencionadas anteriormente, gozan de una simetr¨ªa muy importante: la invariancia gauge, que viene implementada precisamente por el grupo de Lie de la teor¨ªa. En los ¨²ltimos a?os los f¨ªsicos han descubierto otra simetr¨ªa que la teor¨ªa debe satisfacer. Esta simetr¨ªa, denominada supersimetr¨ªa, intercambia bosones (part¨ªculas con esp¨ªn entero, como los fotones) con fermiones (part¨ªculas con esp¨ªn semientero, como los electrones).

Algunas de las recientes aplicaciones del teorema del ¨ªndice vienen marcadas por esta importante conexi¨®n con la f¨ªsica. Entre ¨¦stas cabe mencionar el estudio de las anomal¨ªas de una teor¨ªa cu¨¢ntica (la violaci¨®n de determinadas simetr¨ªas de la teor¨ªa cl¨¢sica al pasar a la teor¨ªa cu¨¢ntica), o el intento de caracterizaci¨®n topol¨®gica de espacios de dimensi¨®n cuatro (la dimensi¨®n del espacio-tiempo de la f¨ªsica) utilizando el espacio de soluciones (instantones) de la ecuaci¨®n de Yang-Mills definidas sobre el espacio original.

En conclusi¨®n, el teorema del ¨ªndice no s¨®lo ha cambiado el panorama de las matem¨¢ticas de las ¨²ltimas d¨¦cadas sino que adem¨¢s ha contribuido de manera muy especial al establecimiento de importantes y profundas conexiones entre diversas ramas de las matem¨¢ticas -particularmente la geometr¨ªa y la topolog¨ªa-, as¨ª como de la f¨ªsica cu¨¢ntica. Atiyah y Singer son sin lugar a dudas dos de los m¨¢ximos responsables de esta rica y fruct¨ªfera interacci¨®n, no s¨®lo por el teorema del ¨ªndice, sino por el inmenso trabajo desarrollado por ambos posteriormente en este campo y la enorme influencia que han ejercido en la comunidad cient¨ªfica dedicada a estas disciplinas.

?scar Garc¨ªa-Prada es investigador del Instituto de Matem¨¢ticas y F¨ªsica Fundamental del CSIC