Superado un problema matem¨¢tico de hace casi 80 a?os

El matem¨¢tico h¨²ngaro Simon Sidon plante¨®, en 1932, al entonces estudiante Paul Erd?s un problema f¨¢cil de formular, pero muy dif¨ªcil de solucionar. Tanto, que no ha sido vencido definitivamente hasta ahora; dos matem¨¢ticos espa?oles, junto a un h¨²ngaro, han dado con la respuesta. El problema original de Sidon era el siguiente: ?Cu¨¢l es el mayor tama?o de un conjunto de n¨²meros, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos? Un conjunto de n¨²meros que cumpla esa condici¨®n se llama conjunto de Sidon, por ejemplo 1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35. No lo es, sin embargo, 1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35, porque aparecen sumas repetidas (1+23=7+17).

Erd?s resolvi¨® a mediados del siglo XX el problema que le plante¨® Sidon, pero qued¨® pendiente una versi¨®n m¨¢s complicada: ?Cu¨¢l es el tama?o m¨¢ximo de un conjunto de este tipo si se permite que cada suma se repita, como mucho, dos veces? ?Y tres veces? ?Y...? Este problema, llamado de los Conjuntos generalizados de Sidon, es un cl¨¢sico de la teor¨ªa combinatoria de n¨²meros, explican los especialistas de i-Math.

Javier Cilleruelo -Universidad Aut¨®noma de Madrid (UAM) e Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas-, Carlos Vinuesa -UAM y Universidad de Cambridge, Reino Unido- e Imre Ruzsa -Instituto Alfr¨¦d R¨¦nyi, Budapest- han conquistado ahora el desaf¨ªo planteado hace 80 a?os y explican su soluci¨®n en la revista Advances in Mathematics. Ellos han combinado t¨¦cnicas probabil¨ªsticas, combinatorias, anal¨ªticas y algebraicas, para obtener un resultado que Cilleruelo considera "un aut¨¦ntico encaje de bolillos en que se han engarzado muchas piezas distintas".

El problema no tiene aplicaciones inmediatas.