La soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico

La ganadora, Carmen Alonso, recibir¨¢ por cortes¨ªa de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (http://rsme.es), el libro Gardner para principiantes, una publicaci¨®n de SM con la que la RSME ha celebrado el centenario de Martin Gardner

A continuaci¨®n, para aclarar dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, a?adimos la soluci¨®n por escrito.

M¨¢s informaci¨®n

As¨ª te cambia la vida el Gordo de la Loter¨ªa

Como en todos los problemas de probabilidad finita, la respuesta vendr¨¢ dada por "casos favorables divididos entre casos posibles". Los casos posibles son la suma de los favorables y los no favorables. Calculemos ambas cantidades para cada una de nuestras cuatro preguntas. Recordemos que en todos los casos Silvia y Miguel nos han dado boca abajo dos decimos con terminaciones distintas

1) Levanto uno de ellos y veo que es una terminaci¨®n par. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que el otro d¨¦cimo tambi¨¦n sea par? Las posibilidades de que ese par venga acompa?ado por un impar son 5 (opciones para la terminaci¨®n par) x 5 (opciones para la terminaci¨®n impar). En total 25. Las posibilidades de que ese par venga acompa?ado por otra terminaci¨®n par par son 5 (opciones para el d¨¦cimo que levanto) x 4 (opciones para la otra terminaci¨®n par, que debe ser distinta). En total 20. La respuesta a nuestra primera pregunta es por tanto que la probabilidad es 20/(25+20)=20/45=4/9.

2) Tras levantar el primer d¨¦cimo, digo "acaba en 0". ?Cu¨¢l es entonces la probabilidad de que mi segundo d¨¦cimo tambi¨¦n sea par? El d¨¦cimo acabado en 0 puede ser acompa?ado de una terminaci¨®n impar de 5 maneras, y de una terminaci¨®n par distinta de 0 de 4 manera, de modo que la respuesta a nuestra segunda pregunta es que la probabilidad es 4/9, la misma que antes. Esto no debe sorprendernos, dado que la primera situaci¨®n es como la segunda "con todo multiplicado por 5", dado que en lugar de una sola terminaci¨®n par admitimos las 5.

3) En vez de levantar un s¨®lo d¨¦cimo, miro los dos a la vez y os anuncio "al menos uno de ellos es par". ?Cu¨¢l es en ese caso la probabilidad de que los dos fuesen pares? Ahora hay que considerar "parejas de decimos", sin que haya uno privilegiado porque es el que miro. Vamos con nuestros casos desfavorables y favorables. Las parejas formadas por un d¨¦cimo par y otro impar son 5 (opciones para la terminaci¨®n par) x 5 (opciones para la terminaci¨®n impar). En total 25. Pero para las parejas formadas por dos pares aparece una simetr¨ªa con la que hay que tener cuidado. En principio podr¨ªa parecer que las posibilidades son 5 (opciones para la primera terminaci¨®n par de la pareja) x 4 (opciones para la segunda terminaci¨®n par, que, recordemos, debe ser distinta). Pero al ver los dos d¨¦cimos a la vez no debemos distinguir entre "primero y segundo": la pareja "terminaci¨®n 0 y terminaci¨®n 2" es s¨®lo una, que coincide con "terminaci¨®n 2 y terminaci¨®n 0". Por tanto el n¨²mero de parejas que podemos formar con dos terminaciones pares no es 20, sino 10. En consecuencia en esta ocasi¨®n la probabilidad de tener dos terminaciones pares es 10/(25+10)=10/35=2/7, ?estrictamente m¨¢s peque?a que los 4/9 de antes! Aunque pudiese parecer que, dado que s¨®lo decimos que tenemos "al menos una terminaci¨®n par", estamos dando la misma informaci¨®n que cuando s¨®lo levant¨¢bamos un decimo no es as¨ª: la simetr¨ªa ha hecho que la probabilidad de tener dos pares sabiendo que ten¨ªamos al menos uno haya bajado.

4) Suponed por ¨²ltimo que miro los dos d¨¦cimos y os comunico que uno de ellos acaba en 0. ?Cu¨¢l es ahora la probabilidad de que mis dos d¨¦cimos sean pares? Si recurrimos a la analog¨ªa con lo que ha pasado en las dos primeras preguntas podr¨ªamos pensar que la respuesta volver¨¢ a ser 2/7, pero vamos a ver si es as¨ª. ?Cu¨¢ntas parejas incluyen la terminaci¨®n 0 y una terminaci¨®n impar?: 5. ?Cu¨¢ntas incluyen la terminaci¨®n 0 y otra terminaci¨®n par distinta?: 4. La probabilidad buscada es entonces 4/9, ?como en las dos primeras preguntas! Al singularizar el 0 hemos "roto la simetr¨ªa" (o quiz¨¢s hemos creado otra) y nos da igual haber visto los dos decimos o s¨®lo uno de ellos.

La RSME y El Pa¨ªs desea a todos los participantes (hayan enviado o no respuesta) una feliz Navidad y un venturoso 2016.